傅立叶分析

傅立叶分析，又称调和分析，是数学的一个分支领域。它研究如何将一个函数或者信号表达为基本波形的叠加。它研究并扩展傅立叶级数和傅立叶变换的概念。基本波形称为调和函数，调和分析因此得名。在过去两个世纪中，它已成为一个广泛的主题，并在诸多领域得到广泛应用,如信号处理、量子力学、神经科学,等。

定义于Rⁿ上的经典傅立叶变换仍然是一个十分活跃的研究领域，特别是在作用于更一般的对象（例如缓增广义函数）上的傅立叶变换。 例如，如果在函数或者信号上加上一个分布f，我们可以试图用f的傅立叶变换来表达这些要求。Paley-Wiener定理就是这样的一个例子。Paley-Wiener定理直接蕴涵如果f是紧支撑的一个非零分布，(这包含紧支撑函数)，则其傅立叶变换从不拥有紧支撑。这是在调和分析下的测不准原理的一个非常初等的形式。参看经典调和分析。

在希尔伯特空间,傅立叶级数的研究变得很方便，该空间将调和分析和泛函分析联系起来。

[编辑] 抽象调和分析

拓扑群上的数学分析是调和分析更现代的一个分支，源于20世纪中叶。其主要动机是各种傅立叶变换可以推广为定义在局部紧致阿贝尔群上的函数的变换。關鍵是證明 Plancherel 定理的類比。

局部緊緻阿貝爾群上的調和分析以龐特里亞金對偶性為基石，現已有完整的理論。對於一般的局部緊拓撲群，調和分析的課題是分類其么正表示。主要對象是李群與p-進群。

對於緊群，任何不可約表示必為有限維么正表示，彼得-外爾定理斷言：不可約么正表示的矩陣係數構成 L²(G) 的正交基；映射 具有與傅立葉變換相近的性質。藉此可以深究緊群的結構。

對於非緊亦非交換的群，須考慮其無窮維表示。目前還沒有一般的 Plancherel 定理，不過對 GL_n,SL_n 等特例已有結果。

[编辑] 其它分支

• 研究流形或圖上的拉普拉斯算子。
• 歐氏空間 上的傅立葉分析。由於傅立葉變換在旋轉下保持不變，可析之為徑向成份與球面成份，由此導向贝塞尔函数與球諧函數的研究。
• 管狀域上的調和分析，這是哈代空間在高維度的推廣。

[编辑] 参考

• Elias M. Stein and Guido Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971. ISBN 069108078X
• Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Third edition. Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-83829-0; 0-521-54359-2