Wielokrotność

Wielokrotność – termin używany w algebrze w kilku podobnych, ale różnych znaczeniach.

Spis treści

[edytuj] Definicje

W matematyce elementarnej, wielokrotność liczby naturalnej a, to każda liczba b postaci b=na, gdzie n jest liczbą naturalną. Definiuje się też całkowite wielokrotności liczby rzeczywistej r jako liczby rzeczywiste s postaci s=ka, gdzie k jest liczbą całkowitą.
W teorii podzielności, powiemy że element b pierścienia całkowitego R jest wielokrotnością elementu a tegoż pierścienia, jeśli b=ca dla pewnego $c\in R$ (zobacz Gleichgewicht^[1]). W tym kontekscie, jeśli b jest wielokrotnością a (w pierścieniu R) to mówimy też, że a jest dzielnikiem b.
W teorii grup, wielokrotnościami elementu g w grupie $(G, + )$ nazywamy elementy postaci $n\cdot g=g+g+\ldots +g$ (n składników)^[2].

[edytuj] Przykłady

[edytuj] W matematyce elementarnej

Wielokrotności liczby 5 to lilczby 5, 10, 15, 20, itd. Wszystkie te liczby są wielokrotnościami liczby 5 w sensie pierścienia liczb całkowitych (i teorii podzielności w tym pierścieniu).
Liczby $\pi,\ 2\pi,\ 3\pi,\ 4\pi$ są całkowitymi wielokrotnościami liczby $π$ . Warto zwrócić uwagę, że wszystkie te liczby są też wielokrotnościami $π$ w sensie grupy addytywnej liczb rzeczywistych $({\mathbb R},+,0)$ .

[edytuj] W teorii pierścieni

125 jest wielokrotnością -5 w pierścieniu liczb całkowitych.
W pierścieniu ${\mathbb C}[x]$ wielomianów o współczynnikach zespolonych, wielomian $x 2 + 1$ jest wielokrotnością wielomianu $x + i$ (bowiem $x 2 + 1 = (x + i)(x - i)$ ).
Jeśli pierścień R jest ciałem oraz $a\in R\setminus\{0\}$ , to wszystkie elementy R są wielokrotnościami a w sensie teorii pierścieni.

[edytuj] W teorii grup

W grupie S₃, permutacja $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ jest wielokrotnością $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ bowiem

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

W grupie addytywnej klas reszt modulo 25, tzn w $({\mathbb Z}_{25},+)$ , wielokrotnościami 5 są: 5, 10, 15, 20 i 0.

[edytuj] Wspólna wielokrotność

Wspólna wielokrotność liczb naturalnych x i y jest to taka liczba z, która jest wielokrotnością liczby x i jest wielokrotnością liczby y, to znaczy istnieją takie liczby k,i należące do zbioru liczb naturalnych, że $z=kx\;$ i $z=iy\;$ .

Przykład:
Wspólnymi wielokrotnościami liczb 4 i 6 są liczby: 12, 24, 36, 48 itd.

$12 = 4\cdot 3 = 6\cdot 2,$

$24 = 4\cdot 6 = 6\cdot 4.$

Najmniejsza ze wspólnych wielokrotności to najmniejsza wspólna wielokrotność. Każde dwie liczby naturalne mają nieskończenie wiele wspólnych wielokrotności.

Przypisy

↑ Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. Strona 283. ISBN 83-01-03903-5
↑ Ibid. Strona 30.