Równanie diofantyczne

Równanie diofantyczne (od matematyka Diofantosa) to równanie, którego rozwiązania szuka się w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Zwykle rozważa się równania diofantyczne o dwóch lub więcej niewiadomych – równania z jedną niewiadomą dają się rozwiązać metodami algebraicznymi.

Przykłady równań diofantycznych:

równanie $x^{n}+y^{n}=z^{n}\,$ : dla $n=2\,$ równanie to obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym (zobacz: trójki pitagorejskie). Dla $n>2\,$ równanie to nie ma rozwiązań – jest to treść wielkiego twierdzenia Fermata.
równanie $ax+by=c\,$ (a, b, c jest dane) jest równaniem diofantycznym liniowym. Ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb a i b dzieli c.
równanie $2^{x}+1=y^{2}\,$ ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3)
równanie $x^{y}=y^{x}\,$ ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy $x \neq y\,$ : $x=2, y=4\,$ oraz $x=4\ \mbox{,}\ y=2\,$
równanie $x^2-ny^2=1\,$ ( $n>0\,$ ) zwane równaniem Pella (od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella; sam Pell nie zajmował się takimi równaniami) – jeżeli $n\,$ jest kwadratem liczby naturalnej nie ma rozwiązań, jeżeli nie jest, ma ich nieskończenie wiele. Rozwiązania te się tablicuje w zależności od $n\,$ .

[edytuj] Typowe problemy

Badając dane równanie diofantyczne staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania:

Czy ma ono rozwiązania?
Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)?
Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?

W przypadku wielu prostych równań te i inne pytania pozostawały bez odpowiedzi przed długie lata, a próby znalezienia ich częstokroć prowadziły do głębokich badań i rozwoju nowych teorii matematycznych. Klasycznym przykładem jest wielkie twierdzenie Fermata, które pozostawało bez dowodu przez blisko 350 lat!

Źródło: "http://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_diofantyczne"