Równania Friedmana

Równania Friedmana - podstawowe równania kosmologii relatywistycznej. Określają one ewolucję wszechświata przy założeniu jego przestrzennej jednorodności i izotropowości (braku wyróżnionego miejsca i kierunku). Zostały po raz pierwszy wyprowadzone przez rosyjskiego uczonego Aleksandra Friedmana w 1922 roku z równań pola Einsteina dla płynu o danym ciśnieniu p i gęstości ρ z metryką zwaną obecnie metryką Friedmana-Lemaître'a-Robertsona-Walkera.

[edytuj] Postać równań

Istnieją dwa niezależne równania Friedmana. Pierwsze z nich określa zmiany pierwszej pochodnej czynnika skali a w zależności od czasu kosmicznego t:

$H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}\,,$

gdzie H to parametr Hubble'a, G - newtonowska stała grawitacji, k - krzywizna przestrzeni, c - prędkość światła, zaś Λ - stała kosmologiczna.

Drugie z równań Friedmana, zwane również równaniem na przyspieszenie, zawiera drugą pochodną czynnika skali po czasie kosmicznym:

$\dot{H} + H^2 \equiv \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}\,.$

Parametr Hubble'a zmienia się w czasie, a jego obecna wartość, H₀, zwana jest stałą Hubble'a i pojawia się jako współczynnik proporcjonalności w prawie Hubble'a. Natomiast rosnący w czasie czynnik skali (na co wskazują obserwacje astronomiczne) oznacza ekspansję wszechświata.

Z równań Friedmana można wyeliminować ciśnienie, jeżeli zna się równanie stanu rozważanego płynu, czyli związek między jego gęstością a ciśnieniem. Natomiast wprowadzenie parametru gęstości Ω = ρ/ρ_c, gdzie ρ_c jest gęstością krytyczną, pozwala na przeformułowanie pierwszego równania Friedmana do ogólnej postaci:

$\frac{H^2}{H_0^2} = \Omega_r a^{-4} + \Omega_m a^{-3} + \Omega_k a^{-2} + \Omega_{\Lambda}.$

Wielkości Ω_r, Ω_m i Ω_Λ są odpowiednio parametrami gęstości promieniowania, materii i stałej kosmologicznej, zaś Ω_k jest "parametrem krzywizny". Znajomość tych parametrów, a więc znajomość składu wszechświata, pozwala wnioskować o jego przeszłej i przyszłej ewolucji, oczywiście w przypadku, gdy spełnione jest założenie o jego jednorodności i izotropowości (lub też jest ono dobrym przybliżeniem).