Liczby niewymierne

Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych.

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.

Spis treści

[edytuj] Historia

Liczby niewymierne odkryli Pitagorejczycy, w związku z twierdzeniem Pitagorasa. Zauważyli oni mianowicie, że przekątna kwadratu o boku 1 jest niewspółmierna z bokiem, co właśnie oznacza niewymierność liczby $\sqrt{2}$ . Ogólnie pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby naturalnej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest kwadratem liczby naturalnej. Zatem na przykład $\sqrt{2}$ oraz $\sqrt{99992}$ są liczbami niewymiernymi (zobacz dowód niewymierności pierwiastka z 2).

[edytuj] Inne przykłady

Każda liczba przestępna (np. π) jest niewymierna.

Innym przykładem liczby niewymiernej jest 0,123456789101112131415... (zapisy dziesiętne kolejnych liczb naturalnych).

Łatwo udowodnić niewymierność wielu logarytmów, np. $log 23$ jest niewymierny:

Dowód nie wprost. Załóżmy, że dla pewnych liczb całkowitych dodatnich $m$ oraz $n$ zachodzi $\log_{2} 3=\frac{m}{n}$ . ( $m, n > 0$ , gdyż $log 2 3 > 0$ ). Wówczas $2^{\frac{m}{n}} = 3$ . $2 m = 3 n$ . Równość ta jest jednak fałszywa - gdyż lewa strona jest parzysta, a prawa nieparzysta.
Podobnie $log 102$ jest niewymierny.

[edytuj] Uogólnienia i przypadki szczegółowe

Liczby niewymierne są szczególnym przypadkiem:

Innymi słowy, zbiór liczb niewymiernych jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych, zbioru liczb zespolonych itd.

[edytuj] Ułamki łańcuchowe

Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne.

[edytuj] Zbiór liczb niewymiernych

Jako podprzestrzeń linii prostej $\mathbb R$ , zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire'a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji $f: \mathbb N \to \mathbb N$ .