Szukaj

narzędzia

Klasa monotoniczna

Klasa monotoniczna to obiekt studiowany w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości i teorii miary.

Spis treści

[edytuj] Definicja

Niepustą rodzinę zbiorów $\mathfrak{M}$ nazywamy klasą monotoniczną wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathfrak{M}$ dla każdego ciągu $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ zbiorów z klasy $\mathfrak{M}$ , spełniającego warunek: $A_n \subset A_{n+1}, n\in\mathbb{N}$
$\bigcap_{n=1}^{\infty}B_n\in\mathfrak{M}$ dla każdego ciągu $(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ zbiorów z klasy $\mathfrak{M}$ , spełniającego warunek: $B_{n+1} \subset B_{n}, n\in\mathbb{N}$ .

[edytuj] Klasa monotoniczna a inne obiekty matematyczne

Każde σ-ciało jest klasą monotoniczną. Każde ciało, które jest klasą monotoniczną jest także σ-ciałem.

[edytuj] Definicje pomocnicze

Przyjmijmy nastepującą definicję: Jeśli $\mathcal{X}$ jest rodziną podzbiorów zbioru $X$ , to:

$\sigma(\mathcal{X})\stackrel{\rm{df}}{=}\bigcap\{\mathfrak{M}\subset 2^X\colon \mathcal{X}\subset \mathfrak{M},$ $\mathfrak{M}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $X \big\}$

$M(\mathcal{X})\stackrel{\rm{df}}{=}\bigcap\{\mathfrak{M}\subset 2^X\colon \mathcal{X}\subset \mathfrak{M},$ $\mathfrak{M}$ jest klasą monotoniczną podzbiorów zbioru $X \big\}$

Jeśli $A$ jest zbiorem, a $\mathcal{X}$ jest klasą zbiorów, to $\mathcal{X} |_A\stackrel{\rm{df}}{=}\{X\cap A\colon X\in\mathcal{X}\}$ .

[edytuj] Twierdzenia dotyczące klas monotonicznych

Jeśli $\mathfrak{N}$ jest ciałem, to $\sigma(\mathfrak{N})=M(\mathfrak{N})$ .

[edytuj] Przykłady

Jako przykład klasy monotonicznej, może podać przykład dowolnego σ-ciała.

[edytuj] Zobacz też

Źródło: "http://pl.wikipedia.org/wiki/Klasa_monotoniczna"

Kategorie: Teoria miary • Teoria mnogości

Wymagania - tylko tutaj ! Cena Nikon D3 Katalogi w Polsce Cytaty Nieruchomości Wina Apartamenty Bułgaria Apteka manieczki ekwador Perfumy Dla Kobiet Transport do USA Sportowy serwis informacyjny. Pierścionki Krynica Zdrój Okapy kick koparki Bułgaria wczasy Karaoke tani kredyt hipoteczny COOLsurf