Funkcja Möbiusa

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja Möbiusa – funkcja określona przez Augusta Ferdynanda Möbiusa w 1831 r. i zdefiniowana w następujący sposób:

  • μ (1) = 1
  • μ (n) = 0 jeśli liczba n jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej;
  • μ (n) = (-1)k jeśli liczba n nie jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej oraz jest iloczynem k liczb pierwszych;

Wartości funkcji Möbiusa dla małych n:

n μ(n)
1 1
2 -1
3 -1
4 0
5 -1
6 1
7 -1
8 0
9 0
10 1

Jak łatwo zauważyć, gdy n jest liczbą pierwszą, wartość funkcji wynosi -1.

Dla n > 1 zachodzi równość:

\sum_{d|n} \mu(d) = 0\,

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie naturalne dzielniki liczby n włącznie z 1 i n.

Oto sekwencje liczb odpowiadające konkretnym wartościom funkcji Moebiusa:

μ(n) = -1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, ...
μ(n) = 0 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, ...
μ(n) = 1 1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, ...

Wykres funkcji Möbiusa dla n \leq 50:

The 50 first values of the function

Funkcja Möbiusa jest funkcją multiplikatywną co oznacza iż

  • \mu(a) \cdot \mu(b) = \mu(ab)

jeśli a i b są liczbami względnie pierwszymi. Istnieje także pojęcie funkcji całkowicie multiplikatywnej gdzie nie jest wymagany warunek względnej pierwszości, funkcji Möbiusa nie można jednak zaklasyfikować w ten sposób.

[edytuj] Związek z funkcjami trygonometrycznymi

Spójrzmy na ciąg ułamków

\frac{1}{42}, \qquad \frac{2}{42}, \qquad \frac{3}{42}, \qquad \dots\dots, \qquad \frac{39}{42}, \qquad \frac{40}{42}, \qquad \frac{41}{42}.

Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:

\frac{1}{42}, \qquad \frac{5}{42}, \qquad \frac{11}{42}, \qquad \dots, \qquad \frac{31}{42}, \qquad \frac{37}{42}, \qquad \frac{41}{42}.

Utwórzmy sumę:

\cos\left(2\pi\cdot\frac{1}{42}\right)+ \cos\left(2\pi\cdot\frac{5}{42}\right)+ \cdots+ \cos\left(2\pi\cdot\frac{37}{42}\right)+ \cos\left(2\pi\cdot\frac{41}{42}\right)

Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową: 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie

\sum_{1\le x< n, \operatorname{NWD} (x,n)=1} \cos \left(2\pi\cdot\frac{x}{n}\right)=\mu(n)
Źródło: "http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_M%C3%B6biusa"

katalog Perfumy Dla Kobiet pranie odzieży roboczej Odzież dziecięca wędkarstwo morskie szukanie partnera twoj stary Domy opieki fakturowanie newsy it Cena Canon EF 50mm 1.4 Ogloszenia Bystrzyca Kłodzka hp 36a Powershot A720 kick koparki Bułgaria wczasy Karaoke tani kredyt hipoteczny COOLsurf