Zdegenerowany funkcjonał dwuliniowy

Zdegenerowany funkcjonał dwuliniowy – w matematyce, funkcjonał dwuliniowy f(x,y) określony na przestrzeni liniowej V taki, że przekształcenie z V w przestrzeń sprzężoną V ^* dane wzorem nie jest bijekcją. Równoważną definicją dla skończeniewymiarowej przestrzeni V jest istnienie pewnego niezerowego takiego, że

f(y,x) = 0 dla każdego .

Niezdegenerowanym nazywamy taki funkcjonaÅ‚ dwuliniowy, który nie jest zdegenerowany. To znaczy, funkcjonaÅ‚ dwuliniowy f jest niezdegenerowany wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcjÄ… z V na V ^* . (Dla skoÅ„czeniewymiarowej przestrzeni V jest to równoważne stwierdzeniu, że implikuje x = 0).

Zauważmy, że dla przestrzeni nieskończeniewymiarowej mogą istnieć funkcjonały dwuliniowe f, takiego że dla pewnego odwzorowanie jest iniektywne, ale nie suriektywne. Na przykład, dla przestrzeni funkcji ciągłych na przedziale domkniętym, funkcjonał

spełnia ten warunek. Mianowicie, ten funkcjonał dwuliniowy spełnia:

f(φ,ψ) = 0 dla każdego φ implikuje ψ = 0.

Z drugiej strony, operator delta Diraca jest w przestrzeni sprzężonej, ale nie ma wymaganej postaci.

Jeżeli f znika identycznościowo dla wszystkich wektorów, to mówi się, że jest całkowicie zdegenerowany. Dla dowolnego funkcjonału dwuliniowego f na V, zbiór wektorów

stanowi podprzestrzeń przestrzeni V. Funkcjonał f jest całkowicie degenerowany na tej podprzestrzeni.

Jeżeli V jest skończeniewymiarowa, to dla pewnej bazy V, funkcjonał dwuliniowy jest zdegenerowany wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik jego macierzy jest równy zeru. Podobnie funkcjonał niezdegenerowany ma nieosobliwą macierz. Powyższe stwierdzenia nie zależą od wyboru bazy.

Czasami do określenia funkcjonałów niezdegenerowanego, zdegenerowanego i całkowicie zdegenerowanego używa się odpowiednio pojęć anizotropowy, izotropowy i całkowicie izotropowy, choć ich definicje mogą się różnić w zależności od autora. Niezdegenerowane funkcjonały dwuliniowe nazywa się czasami sparowaniami doskonałymi.