Szukaj

narzędzia

W innych językach

Deutsch

Droga (topologia)

Spis treści

Droga – w topologii, ciągłe przekształcenie z przedziału jednostkowego w przestrzeń topologiczną. Pętlą nazywa się drogę, której początek i koniec pokrywają się. Ich parametr, szczególnie przy homotopiach, nazywa się niekiedy czasem.

[edytuj] Definicja

Niech $I = [0, 1] \subset \mathbb R$ oraz niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Drogą nazywamy ciągłe przekształcenie $f\colon I \to X$ .

Punktem początkowym drogi jest $f (0)$ , a końcowym $f (1)$ . Często mówi się o „drodze z $x$ do $y$ ”, co oczywiście oznacza, że punkty te są odpowiednio początkowym i końcowym danej drogi.

Pętlą zaczepioną w $x \in X$ nazywa się drogę z $x$ do $x$ . Równoważnie można określić ją jako drogę $\alpha\colon I \to X$ taką, że $α(0) = α(1)$ lub jako ciągłe odwzorowanie okręgu jednostkowego w przestrzeń, czyli $\alpha\colon \mathcal S^1 \to X$ . Ostatnia równoważność wynika z tego, że $\mathcal S^1$ może być rozważane jako przestrzeń ilorazowa $I$ z utożsamionymi punktami $0$ i $1$ .

Zbiór pętli w $X$ zaczepionych w $a$ nazywamy przestrzenią pętli i oznaczamy symbolem $Ω(X)$ .

[edytuj] Łukowa spójność

Zobacz więcej w osobnym artykule: Zbiór łukowo spójny.

Przestrzeń topologiczna, w której dla jej dowolnych dwóch punktów istnieje droga je łącząca nazywa się łukowo spójną. Każda przestrzeń $X$ może zostać rozbita na zbiór łukowo spójnych składowych, który oznaczany jest często $π 0 (X)$ .

[edytuj] Uwagi

Należy pamiętać, że droga nie jest tym samym co jej obraz. Oznacza to, że nie jest tylko podzbiorem $X$ , który wygląda jak krzywa, ale przede wszystkim odwzorowaniem z daną parametryzacją. Przykładem mogą być odwzorowania $f (x) = x$ oraz $g (x) = x 2$ będące dwiema różnymi drogami z $0$ do $1$ na prostej rzeczywistej.

[edytuj] Przestrzenie z wyróżnionym punktem

Można także badać drogi i pętli w przestrzeniach topologicznych z wyróżnionym punktem, które są ważnymi obiektami w teorii homotopii. Niech $(X, a)$ będzie taką przestrzenią, drogą w $(X, a)$ nazywa się te drogi w $X$ , których punktem początkowym jest $a$ . Analogicznie pętlą w $(X, a)$ nazywa się pętle zaczepione w $a$ .

[edytuj] Homotopia

Homotopia między dwiema drogami.

Zobacz więcej w osobnym artykule: homotopia.

Homotopia dróg i pętli jest niezwykle ważnym środkiem badawczym w dziale topologii algebraicznej nazywanym teorią homotopii. Homotopia między drogami jest uściśleniem intuicji ciągłej deformacji drogi w jednostce czasu (którą jest przedział jednostkowy $I$ ) przy zachowaniu jej punktów końcowych.

Homotopia między pętlami zaczepionymi we wspólnym punkcie pozwala przyporządkować przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem grupę podstawową. Okazuje się, że jeżeli wspomniana przestrzeń jest łukowo spójna, to wybór punktu zaczepienia jest nieistotny.

[edytuj] Drogi

Homotopią dróg z $a$ do $b$ w $X$ nazywamy rodzinę dróg $f_t\colon I \to X$ taką, że

$f t (0) = a$ i $f t (1) = b$ są stałe,
odwzorowanie $F\colon I \times I \to X$ dane wzorem $F (s, t) = f t (s)$ jest ciągłe.

[edytuj] Pętle

Homotopią pętli $\alpha, \beta \in \Omega(X, a)$ nazywamy homotopię $H\colon I \times I \to X$ łączącą $α$ oraz $β$ spełniającą warunek $H (0, t) = H (1, t) = a$ dla $t \in I$ .

Dla powyższej homotopii każda droga $α t (s) = H (s, t)$ jest pętlą w $X$ zaczepioną w $a$ . Należy pamiętać, że na homotopię pętli nakłada się dodatkowy warunek: mianowicie aby punkt zaczepienia $a$ nie ulegał przesunięciu.

[edytuj] Równoważność

Drogi i pętle między którymi zachodzi homotopia, nazywa się homotopijnymi. Podobnie jak homotopia dowolnych przekształceń, homotopie dróg w $Ω(X)$ i pętli w $Ω(X, a)$ są relacjami równoważności. Klasa równoważności drogi $f$ tej relacji nazywana jest klasą homotopii i oznaczana często $[f]$ .

[edytuj] Składanie

Zobacz więcej w osobnym artykule: złożenie funkcji.

Załóżmy, że $f$ jest drogą z $x$ do $y$ , zaś $g$ z $y$ do $z$ . Złożeniem dróg $f$ i $g$ nazywamy drogę $f \circ g$ zdefiniowaną jako uprzednie przejście po $f$ , a następnie po $g$ :

$(f \circ g)(s) = \begin{cases}f(2s) & 0 \le s \le \tfrac{1}{2} \\ g(2s-1) & \tfrac{1}{2} \le s \le 1\end{cases}$ .

Jeżeli rozważymy wszystkie pętle zaczepione w $a$ , to złożenie dróg staje się działaniem dwuargumentowym. Złożenie dróg nie jest łączne z powodu różnic w parametryzacjach, jednakże jest łączne na poziomie homotopii, tj. $[(f \circ g) \circ h] = [f \circ (g \circ h)]$ .

[edytuj] Grupa podstawowa

Zobacz więcej w osobnym artykule: grupa podstawowa.

Składanie dróg określa na zbiorze klas homotopii pętli zaczepionych we wspólnym punkcie $a$ strukturę grupy, nazywanej grupą podstawową i oznaczaną $π 1 (X, a)$ .

[edytuj] Bibliografia

S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005

[edytuj] Zobacz też

Źródło: "http://pl.wikipedia.org/wiki/Droga_(topologia)#f2ffff"

Kategorie: Topologia algebraiczna • Relacje równoważności

Pozycjonowanie w google Darmowe Mp3 programy Szlifierka, profile folie okienne mp3download, wyszukiwarka mp3 tanie domeny Zespół na wesele Sklep internetowy zakłady bukmacherskie Maszyny Zus Czestochowa Darmowe mp3 Doładowanie silników książka Fundusze inwestycyjne, tfi kick koparki Bułgaria wczasy Karaoke tani kredyt hipoteczny COOLsurf