Algorytm Hirvonena

Współrzędne geodezyjne i kartezjańsie

Algorytm Hirvonena służy do transformacji współrzędnych ortokartezjańskich (prostokątnych) x, y, z na współrzędne geodezyjne B, L, H. Jest to proces iteracyjny. Zaletą metody Hirvonena jest jej niezależność od pola siły ciężkości, a poprzez to pełna odwracalność procedury. Mając dane B, L, H można ponownie wyliczyć x, y, z.

Spis treści

[edytuj] Obliczenia

Wychodzimy ze wzorów na x,y,z:

X = (N + H)cos B cos L

Y = (N + H)cos B sin L

Z = [N (1 - e 2) + H]sin L

[edytuj] Długość geodezyjna L

$\frac {Y} {X} = \frac { ( N + H ) \cos B \sin L } { ( N + H ) \cos B \cos L } = \tan L$

$\tan L = \arctan \frac { Y } { X }$

[edytuj] Szerokość geodezyjna B

$\frac { Z }{ X^{2} + Y^{2} } = \frac { [N (1 - e^{2}) + H] \sin B } { (N+H) \cos B } = \frac { (N + Ne^{2} + H) } { N+H } \tan B = ( \frac { N+H } { N+H } - \frac { Ne^{2}} { N+H } ) \tan B$

$\frac { Z }{ X^{2} + Y^{2} } = ( 1 - e^{2} \frac { N } { N+H } ) \tan B$

$\tan B = \frac { Z }{ X^{2} + Y^{2} } ( 1 - e^{2} \frac { N } { N+H } )^{-1}$

Ostatecznie:

$\tan B^{(k+1)} = \frac { Z }{ X^{2} + Y^{2} } ( 1 - e^{2} \frac { N^{(k)} } { N^{(k)}+H^{(k)} } )^{-1}$

przy czym:

$\tan B^{(k=0)} = \frac { Z }{ X^{2} + Y^{2} } ( 1 - e^{2} )^{-1}$

[edytuj] Wysokość elipsoidalna (H)

X 2 + Y 2 = (N + H)cos B = N cos B + H cos B

H cos B = X 2 + Y 2 - N cos B

$H = \frac {X^{2} + Y^{2}} { \cos B } - N$

[edytuj] Algorytm

obliczenie długości geodezyjnej L,
obliczenie szerokości geodezyjnej, B dla k = 0,
Na podstawie tego B₀ liczymy N₀ i H₀. Następnie mając dane N₀ i H₀ liczymy na ich podstawie B₁. Na podstawie B₁ liczymy N₁ i H₁ itd. Zazwyczaj wystarcza 3 iteracje. Proces jest powtarzany do uzyskania zadowalającej dokładności.