Міра множини

Неформально, міра — це функція, що відображає множини на невід'ємні дійсні числа, при цьому, надмножини відображаються на більші числа, ніж підмножини.

Міра множини — спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур та $n$ -вимірного об'єму для більш загальних просторів. Якщо зворотнє не вказане явно, то зазвичай мається на увазі злічено-адитивна міра.

Поняття міри виникло в теорії функції дійсної змінної, а звідти перейшло до теорії ймовірностей, теорії динамічних систем, функціонального аналізу та багато інших областей математики.

[ред.] Визначення

[ред.] Скінчено-адитивна міра

Нехай задано простір $X$ з виділеним класом підмножин $\mathcal{F}$ , замкненим відносно скінчених перетинів та об'єднань. Функція $\mu:\mathcal{F} \to [0,\infty]$ називається скінчено-адитивною мірою, якщо вона задовільняє наступним умовам:

$\mu(\varnothing) = 0$ ;
Якщо $\{E_n\}_{n=1}^{N}\subset\mathcal{F}$ — скінчене сімейство попарно не перетинаючихся множин із $\mathcal{F}$ , тобто $E_i \cap E_j= \varnothing,\; i\not= j$ , то

$\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^{N}E_n\right) = \sum\limits_{n=1}^{N}\mu(E_n)$ .

[ред.] Альтернативне визначення

Функція множини $μ(A)$ називається мірою, якщо:

область визначення $σ μ$ функції $μ(A)$ є напівкільце множин.
значення $\mu(A)\geq 0$
$μ(A)$ — адитивна, тобто, для довільного скінченого розкладу $A=A_1\cup A_2 \cup \dots \cup A_n$ , $A_i\cap A_j = \varnothing$

буде виконуватись рівність

$\mu(A)=\sum_{k=1}^n \mu(A_k)$

Система множин $σ$ називається напівкільцем, якщо вона містить порожню множину, замкнена по відношеню до утворення перетинів, і якщо з приналежності до $σ$ множини $A$ та $A_1\subset A$ випливає можливість представлення множини $A$ у вигляді об'єднання $A=\bigcup_{k=1}^n A_k$ , де $A k$ — попарно неперетинаючися множини з $σ$ , перша з яких є задана множина $A 1$ .

[ред.] Злічено-адитивна міра

Нехай задано простір $X$ з виділеною σ-алгеброю $\mathcal{F}$ . Функція $\mu:\mathcal{F} \to [0,\infty]$ називається злічено-адитивною (або σ-адитивною) мірою, якщо вона задовільняє наступним вимогам:

$\mu(\varnothing) = 0$ ;
(σ-адитивність) Якщо $\{E_n\}_{n=1}^{\infty}\subset\mathcal{F}$ — злічене сімейство попарно не перетинаючихся множин з $\mathcal{F}$ , тобто $E_i \cap E_j =\varnothing,\; i\not= j$ , то

$\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}E_n\right) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)$ .

[ред.] Продовження міри

Міра $μ$ називається продовженням міри $m$ , якщо $\mathcal{F}_m \sub \mathcal{F}_\mu$ і для кожної $A \in \mathcal{F}_m$ виконується рівність:

μ(A) = m (A)

При цьому, для кожної міри $m (A)$ , заданої на деякому напівкільці $\mathcal{F}_m$ існує єдине продовження $m'(A)$ , що має в якості області визначення кільце $\mathcal{R}(\mathcal{F}_m)$ (тобто, мінімальне кільце над $\mathcal{F}_m$ ).

[ред.] Примітки

Довільна злічено-адитивна міра є скінчено-адитивною, але не навпаки.
Якщо міра всього простору скінчена, тобто $\mu(X) < \infty$ , то така міра називається скінченою. В протилежному випадку міра нескінчена.
На прямій та двовимірній площині існує нескінчена кількість продовжень міри Лебега з σ-алгебри, породжуваної відкритими підмножинами, на множину всіх множин, що зберігає скінчену адитивність міри. Для жодного з нетривіальних евклідових просторів не існує будь-якого злічено-адитивного розширення міри Лебега на можину всіх його підмножин.

[ред.] Приклади

Міра Жордана — приклад скінчено-адитивної міри;
Міра Лебега — приклад нескінченої міри;
Ймовірність — приклад скінченої міри.

[ред.] Література

Вулих Б. З. (1973). Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла), 352, М.: Наука.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. (1976). Элементы теории функций и функционального анализа, 251, М.: Наука.