1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

กราฟแสดงผลบวกจำกัดพจน์ของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + …
กราฟแสดงผลบวกจำกัดพจน์ของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + …

ในทางคณิตศาสตร์ 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมอนันต์ ซึ่งแต่ละพจน์เป็นจำนวนเต็มบวกที่อยู่ถัดจากพจน์ก่อนหน้า โดยใส่เครื่องหมายบวกและเครื่องหมายลบสลับกัน ผลบวกใน m พจน์แรกของอนุกรมนี้สามารถเขียนได้ในรูป

\sum_{n=1}^m n(-1) ^{n-1}

อนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก เพราะลำดับของผลบวกจำกัดพจน์ (1, -1, 2, -2, …) ไม่ลู่เข้าหาจำนวนจำกัดใด ๆ จึงไม่สามารถหาลิมิตได้ แต่มีปฏิทรรศน์จำนวนมาก ที่แสดงว่าอนุกรมนี้มีลิมิต

ในคริสต์ศตวรรษที่ 18 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ยอมรับปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า

1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{4}

การหาผลบวกดังกล่าวเริ่มมีการพัฒนาตั้งแต่ใน พ.ศ. 2433 เออร์เนสโต เซซาโร, เอมิลี โบเรล และนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ได้ร่วมกันพัฒนาวิธีในการนิยามผลบวกของอนุกรมลู่ออก

อนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมที่ใกล้เคียงกับอนุกรมแกรนดี 1 − 1 + 1 − 1 + … ออยเลอร์ได้พิจารณาอนุกรมทั้งสองว่าเป็นกรณีเฉพาะของ 1 − 2n + 3n − 4n + … งานวิจัยของเขาได้ต่อยอดไปสู่การศึกษาเรื่องปัญหาของเบเซล และสมการเชิงฟังก์ชัน ซึ่งนำไปสู่ฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์ และฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

เนื้อหา

[แก้] การลู่ออกของอนุกรม

การแสดงว่าอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมลู่ออก สามารถสังเกตได้จากผลบวกจำกัดพจน์ของอนุกรมดังนี้[1]

1 = 1,
1 − 2 = −1,
1 − 2 + 3 = 2,
1 − 2 + 3 − 4 = −2,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,
…

ลำดับดังกล่าวประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกทุกตัวยกเว้นศูนย์ จึงสามารถสร้างเซต \mathbb{Z} ของจำนวนเต็มขึ้นมาจากลำดับดังกล่าวได้[2] และจะเห็นว่าลำดับดังกล่าวไม่ได้ลู่เข้าหาค่าคงที่ใด ๆ ดังนั้น อนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมลู่ออก

[แก้] การหาผลบวกของอนุกรม

ถึงแม้ว่าอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … จะเป็นอนุกรมลู่ออก แต่เมื่อให้ s = 1 − 2 + 3 − 4 + … จะสามารถสร้างปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า s = 1⁄4 ได้ดังนี้[3]

\begin{array}{rclllll} 4s&=& &(1-2+3-4+\cdots) & +(1-2+3-4+\cdots) & +(1-2+3-4+\cdots) &+(1-2+3-4+\cdots) \\ &=& &(1-2+3-4+\cdots) & +1+(-2+3-4+5+\cdots) & +1+(-2+3-4+5+\cdots) &-1+(3-4+5-6\cdots) \\ &=&1+[&(1-2-2+3) & +(-2+3+3-4) & +(3-4-4+5) &+(-4+5+5-6) +\cdots] \\ &=&1+[&0+0+0+0+\cdots] \\ 4s&=&1 \end{array}

แผนภาพแสดงการพิสูจน์ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1⁄4
แผนภาพแสดงการพิสูจน์ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1⁄4

จึงได้ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1⁄4 ถึงแม้ในความเป็นจริง เราจะไม่สามารถหาผลบวกของอนุกรมดังกล่าวได้ แต่ผลบวกที่ได้มาจากปฏิทรรศน์ต่าง ๆ จะถือว่าเป็นผลบวกที่นิยามขึ้นสำหรับอนุกรมลู่ออก ซึ่งมีวิธีหาผลบวกเหล่านี้หลายวิธี อย่างไรก็ตาม วิธีการพิสูจน์ข้างต้นได้แสดงถึงความสัมพันธ์ของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … และอนุกรมแกรนดี 1 - 1 + 1 - 1 + … ดังนี้

\begin{array}{rcllll} 2s & = & &(1-2+3-4+\cdots) & + & (1-2+3-4+\cdots) \\ & = & 1 + &(-2+3-4+\cdots) &+1-2 & +(3-4+5\cdots) \\ & = & 0 + &(-2+3) +(3-4) + (-4+5) \\ \frac{1}{2}& = & &1-1+1-1\cdots \\ \end{array}

ซึ่งนำไปสู่ปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า 1 - 1 + 1 - 1 + … = 1⁄2

[แก้] ผลคูณโคชี

ใน พ.ศ. 2434 เออร์เนสโต เซซาโร ได้เสนอแนวคิดที่ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … เกิดจากผลคูณโคชีของ 1 - 1 + 1 - 1 + … กับ 1 - 1 + 1 - 1 + …

ผลคูณโคชีสามารถหาได้ในกรณีที่อนุกรมทั้งสองลู่ออก สำหรับ Σan = Σbn = Σ(−1) n เมื่อหาผลคูณตามนิยามจะได้

\begin{array}{rcl} c_n & = &\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}=\sum_{k=0}^n (-1) ^k (-1) ^{n-k} \\[1em] & = &\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1) ^n = (-1) ^n(n+1). \end{array}

ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างผลบวก 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1⁄4 และผลบวกของอนุกรมแกรนดี 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1⁄2

ในทางผลบวกเซซาโรถือว่า 1 - 1 + 1 - 1 + … เป็นอนุกรมที่อ่อนที่สุด เรียกว่า (C, 1) ในขณะที่ 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมที่เข้มขึ้น เรียกว่า (C, 2) [4]

[แก้] วิธีอื่น ๆ

มีหลายวิธีในการนิยามผลบวกของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เช่น

[แก้] เซซาโรและโฮลเดอร์

กราฟแสดงผลบวก (H, 2)
กราฟแสดงผลบวก (H, 2)

ผลบวกเซซาโร (C, 1) ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … สามารถหาได้โดยการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลบวกจำกัดพจน์ ได้แก่

1, −1, 2, −2, 3, −3, …

ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ

1, 0, 2⁄3, 0, 3⁄5, 0, 4⁄7, …

ลำดับดังกล่าวเป็นลำดับลู่ออก ดังนั้นจึงไม่สามารถหาผลบวกเซซาโรของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้

อย่างไรก็ตาม ในปี พ.ศ. 2425 อ็อตโต โฮลเดอร์ ได้การหารูปแบบที่ง่ายขึ้นของผลบวกเซซาโรที่เรียกว่า (H, n) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก โดย (H, 1) หมายถึงเซซาโร และค่าที่สูงขึ้นสามารถหาได้โดยการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของลำดับก่อนหน้าไปเรื่อย ๆ เช่น ค่าเฉลี่ยของผลบวกจำกัดพจน์ของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … พจน์คี่ทุกพจน์เป็นศูนย์ ในขณะที่พจน์คู่มีค่าลู่เข้าสู่ 1⁄2 ดังนั้นค่าเฉลี่ยจึงลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยของ 0 และ 1⁄2 คือ 1⁄4[5]

[แก้] ผลบวกอาเบล

กราฟแสดงค่าของ 1−2x+3x2+…; 1/(1 + x) 2 ซึ่งมีลิมิตเป็น 1
กราฟแสดงค่าของ 1−2x+3x2+…; 1/(1 + x) 2 ซึ่งมีลิมิตเป็น 1

จากรายงานใน พ.ศ. 2292 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ยอมรับว่าอนุกรมดังกล่าวเป็นอนุกรมลู่ออก แต่ต้องการที่จะหาผลบวกให้ได้ ดังนี้[6]

สำหรับจำนวนจริง x ที่มีค่าสัมบูรณ์ น้อยกว่า 1 จะได้ว่า

1-2x+3x^2-4x^3+\cdots = \frac{1}{(1+x) ^2}

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยขั้นตอนการหารพหุนาม

ถึงแม้ว่าอนุกรม 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + … จะไม่นิยามค่าเมื่อ x = 1 จึงทำให้ไม่สามารถหาลิมิตดังกล่าวนี้ได้ แต่ออยเลอร์ได้หาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ดังนี้[7]

\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\sum_{n=1}^\infty n(-x) ^{n-1} = \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{1}{(1+x) ^2} = \frac14.

[แก้] ออยเลอร์และโบเรล

แผนภาพแสดงผลบวกออยเลอร์
แผนภาพแสดงผลบวกออยเลอร์

ออยเลอร์ได้ใช้เทคนิคอื่นในการหาผลบวกของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … โดยเริ่มจากจำนวนเต็มบวกในลำดับที่ใส่เครื่องหมายบวกและเครื่องหมายลบสลับกันคือ 1, 2, 3, 4, … เรียกพจน์แรกของลำดับนี้ว่า a0 จากนั้นสร้างลำดับของผลต่างของพจน์ถัดกันในลำดับนี้ จะได้ลำดับ 1, 1, 1, 1, … และเรียกพจน์แรกของลำดับนี้ว่า Δa0 สำหรับลำดับที่เกิดจากการหาผลต่างของพจน์ถัดกันของลำดับนี้ไปเรื่อย ๆ จะเป็นศูนย์ทั้งหมด ผลบวกออยเลอร์ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … นิยามโดย

\frac12 a_0-\frac14\Delta a_0 +\frac18\Delta^2 a_0 -\cdots = \frac12-\frac14 = \frac14

ผลบวกออยเลอร์ยังนำไปสู่การหาผลบวกของอนุกรมในวิธีอื่น โดยการเขียนอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … อยู่ในรูป

\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty(-1) ^k(k+1)

ซึ่งมีความสัมพันธ์กับสูตร

a(x) = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1) ^k(k+1) x^k}{k!} = e^{-x}(1-x).

ทำให้ได้ผลบวกที่เรียกว่าผลบวกโบเรล ดังนี้[8]

\int_0^\infty e^{-x}a(x) \,dx = \int_0^\infty e^{-2x}(1-x) \,dx = \frac12-\frac14 = \frac14

[แก้] ไซเชฟและวอยซีนสกี

ไซเชฟและวอยซีนสกีได้แสดงว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1⁄4 โดยใช้หลักการทางฟิสิกส์ที่กล่าวว่า

  • ถ้า φ(x) เป็นฟังก์ชันที่อนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งและลำดับที่สองสามารถหาค่าได้และต่อเนื่องในช่วง (0, ∞) โดยที่ φ(0) = 1 และลิมิตของ φ(x) และ xφ(x) เข้าสู่ +∞ เป็นศูนย์ แล้ว[9]
\lim_{\delta\downarrow0}\sum_{m=0}^\infty (-1) ^m(m+1) \varphi(\delta m) = \frac14.

โดยให้ φ(x) = exp(−x) ทำให้ได้ผลลัพธ์เป็นรูปทั่วไปของผลบวกอาเบล

[แก้] รูปทั่วไป

ผลคูณโคชีชั้นที่สามของ 1 - 1 + 1 - 1 + … คือ 1 - 3 + 6 - 10 + … ซึ่งเป็นอนุกรมสลับของจำนวนสามเหลี่ยม โดยมีผลบวกอาเบลและผลบวกออยเลอร์เป็น 1⁄8[10] ผลคูณโคชีชั้นที่สี่ของ 1 + 1 - 1 + 1 - … คือ 1 - 4 + 10 - 20 + … ซึ่งเป็นอนุกรมสลับของจำนวนเตตระฮีดรอน โดยมีผลรวมอาเบลเป็น 1⁄16

รูปแบบทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … คือ 1 − 2n + 3n − 4n + … สำหรับจำนวนเต็มบวก n ซึ่งมีผลรวมอาเบลเป็น[11]

1-2^{n}+3^{n}-\cdots = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}B_{n+1}

เมื่อ Bn เป็นจำนวนแบร์นูลลี สำหรับ n ที่เป็นจำนวนคู่ ผลบวกจะสามารถลดรูปได้เป็น

1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots = 0

ซึ่งค้นพบโดย นีลส์ เฮนริก อาเบล ในปี พ.ศ. 2469

ในปี พ.ศ. 2426 เซซาโรได้พยายามหาสูตรในการหาลิมิตของรูปทั่วไปแต่ได้พบข้อผิดพลาดในงานของเขา อย่างไรก็ตาม แนวคิดที่ใช้ก็เป็นแนวคิดที่มีประโยชน์ ในที่สุด เมื่อ พ.ศ. 2433 เซซาโรได้หาลิมิตของอนุกรมได้ และได้ตีพิมพ์ลงใน Sur la multiplication des séries[12]

การศึกษาอนุกรมดังกล่าวได้ศึกษาถึงค่า n ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มด้วย ซึ่งนำไปสู่ฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์และฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ออยเลอร์ได้ศึกษาเกี่ยวกับฟังก์ชันเหล่านี้และหาค่าของฟังก์ชันสำหรับจำนวนคู่ และได้พยายามที่จะหาค่าของฟังก์ชันสำหรับจำนวนคี่ แต่ก็ยังไม่มีใครสามารถหาได้จนถึงปัจจุบัน

[แก้] อ้างอิง

  1. ^ Hardy, p.8
  2. ^ Beals, p.23
  3. ^ Hardy, p.6
  4. ^ Hardy, p.3; Weidlich, pp.52–55
  5. ^ Hardy, p.9 สำหรับการคำนวณอย่างละเอียด, ดู Weidlich, pp.17–18.
  6. ^ Euler et al, p.2 ผลงานได้เขียนขึ้นใน พ.ศ. 2292 แต่ได้ตีพิมพ์ใน พ.ศ. 2311
  7. ^ Euler et al, pp.3, 25
  8. ^ Weidlich p. 59
  9. ^ Saichev and Woyczyński, pp.260–264
  10. ^ Kline, p.313.
  11. ^ Knopp, p.491
  12. ^ Ferraro, pp.120–128
  • Beals, Richard (2004). Analysis: an introduction. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2. 
  • Davis, Harry F. (May 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9. 
  • Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler (2006). Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series. The Euler Archive. เรียกข้อมูลวันที่ 2007-03-22 Originally published as Euler, Leonhard (1768). "Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques". Memoires de l'academie des sciences de Berlin 17: 83–106.
  • Ferraro, Giovanni (June 1999). "The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics". Archive for History of Exact Sciences 54 (2): 101–135DOI:10.1007/s004070050036.
  • Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0. 
  • Hardy, G.H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. 
  • Kline, Morris (November 1983). "Euler and Infinite Series". Mathematics Magazine 56 (5): 307–314.
  • Lavine, Shaughan (1994). Understanding the Infinite. Harvard UP. ISBN 0674920961. 
  • Markushevich, A.I. (1967). Series: fundamental concepts with historical exposition, English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian, Hindustan Pub. Corp.. 
  • Saichev, A.I., and W.A. Woyczyński (1996). Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. ISBN 0-8176-3924-1. 
  • Tucciarone, John (January 1973). "The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925". Archive for History of Exact Sciences 10 (1-2): 1–40DOI:10.1007/BF00343405.
  • Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer. ISBN 0387008365. 
  • Weidlich, John E. (June 1950). Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. 

[แก้] ดูเพิ่ม

ดึงข้อมูลจาก "http://th.wikipedia.org/wiki/1_%E2%88%92_2_%2B_3_%E2%88%92_4_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7".

skrypty php odchudzanie kredyty samochodowe Perfumy Dla Kobiet karta kredytowa Studio Tatuażu Warszawa Okapy organizacja imprez informacje turystyczne faktoring Teksty wykonawców na Z VAT 7 Forex Perfumy Davidoff Rezydencje kick koparki Bułgaria wczasy Karaoke expekt COOLsurf