ค้นหา

เครื่องมือ

ภาษาอื่น

ลิมิตของฟังก์ชัน

ลิงก์ข้ามภาษาในบทความนี้ มีไว้เพื่อความสะดวกในการศึกษาเพิ่มเติมของผู้อ่านและผู้ร่วมแก้ไขบทความ เนื่องจากคำดังกล่าวยังไม่มีบทความในภาษาไทย ลิงก์ข้ามภาษาจะถูกตัดออกเมื่อหมดความจำเป็นแล้ว

หัวข้อที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัส

อนุพันธ์

กฎผลคูณ | กฎผลหาร | กฎลูกโซ่ | อนุพันธ์โดยปริยาย | ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์

ปริพันธ์

ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของฟังก์ชัน เป็นแนวคิดพื้นฐานของ คณิตวิเคราะห์ (ภาคทฤษฎีของแคลคูลัส)

ถ้าเราพูดว่า ฟังก์ชัน f มีลิมิต L ที่จุด p หมายความว่า ผลลัพธ์ของ f จะเข้าใกล้ L ที่จุดใกล้จุด p สำหรับนิยามอย่างเป็นทางการนั้น มีการกำหนดขึ้นครั้งแรก ช่วงปลายของคริสต์ศตวรรษที่ 19 มีรายละเอียดอยู่ข้างล่าง

ดูที่ ข่ายลำดับ (topology) สำหรับนัยทั่วไปของแนวคิดของลิมิต

เนื้อหา

1 ประวัติ
2 นิยามเป็นทางการ
3 ตัวอย่าง
- 3.1 ฟังก์ชันค่าจริง
- 3.2 ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง
4 คุณสมบัติ

[แก้] ประวัติ

ดูที่ คณิตวิเคราะห์

[แก้] นิยามเป็นทางการ

[แก้] ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง

กำหนดให้ f : (M,d_M) -> (N,d_N) เป็นการส่งค่าระหว่าง (เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน) ปริภูมิอิงระยะทาง สองปริภูมิ, และกำหนดให้ p ∈M และ L ∈N, เราจะกล่าวว่า "ลิมิตของ f ที่ p คือ L" และเขียนว่า

$\lim_{x \to p}f(x) = L$

ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ ε > 0

จะมี

δ > 0 ที่ สำหรับทุกๆ x ∈M และ d_M(x, p) < δ แล้ว, d_N(f(x), L) < ε

[แก้] ฟังก์ชันค่าจริง

เซตของจำนวนจริงหรือเส้นจำนวนจริง โดยทั่วไปสามารถมองเป็นปริภูมิอิงระยะทางได้ โดยมี $d (x, y): = | x - y |$ . เช่นเดียวกับ เส้นจำนวนจริงขยาย (เส้นจำนวนจริงที่เพิ่ม +∞ และ -∞ เข้าไปด้วย) ก็สามารถมองเป็นปริภูมิอิงระยะทางได้ โดยมี $d (x, y): = | a r c t a n (x) - a r c t a n (y) |$

[แก้] ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริงที่จุดใดจุดหนึ่ง

ให้ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง แล้วเราจะเขียน

 ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ ε > 0 (ไม่ว่าจะเล็กเท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่  0 < |x-p| < δ,  |f(x)-L| < ε

ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง ที่มีทั้ง M และ N เป็นเซตของจำนวนจริง และ d(x,y) = |x-y|.

หรือเราจะเขียน

 ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ R > 0 (ไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่  0 < |x-p| < δ, f(x) > R;

หรือจะเขียนว่า

 ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุกค่าของ R < 0 จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, f(x) < R.

ถ้าในนิยาม เราใช้ x-p แทน |x-p| เราก็จะได้ ลิมิตขวา เขียนแทนโดย : $\lim_{x \to p^+}$ และถ้าใช้ p-x แทน ก็จะได้ ลิมิตซ้าย เขียนแทนโดย : $\lim_{x \to p^-}$

[แก้] ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริง ณ อนันต์

จะมีลิมิตของฟังก์ชัน ณ อนันต์ ถ้า สำหรับ ε > 0 ใดๆ มี S > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ทำให้ |f(x)-L| < ε สำหรับ x > S ใดๆ

ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันค่าจริง เราจะพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

เราจะเขียน

$\lim_{x \to \infty}f(x) = L$

[แก้] ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน

ระนาบเชิงซ้อน ที่มีตัววัด (metric) เป็น $d (x, y): = | x - y |$ จะเป็นปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ด้วยเช่นกัน จะมีลิมิตสองประเภทเมื่อเราพูดถึงฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน

[แก้] ลิมิตของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง

สมมติให้ f เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน แล้วเราจะเขียนว่า

$\lim_{x \to p}f(x) = L$

ได้ ก็ต่อเมื่อ

สำหรับ ε > 0 ใดๆ จะมี δ >0 อย่างน้อย 1 ค่า ซึ่งสำหรับจำนวนจริง x ใดๆ ซึ่ง 0<|x-p|<δ จะได้ |f(x)-L|<ε

นี่เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทางที่มีทั้ง M และ N เป็นระนาบเชิงซ้อน

[แก้] ลิมิตของฟังก์ชัน ณ อนันต์

เราจะเขียน

$\lim_{x \to \infty}f(x) = L$

ได้ ก็ต่อเมื่อ

สำหรับ ε > 0 ใดๆ จะมี S >0 ซึ่งสำหรับจำนวนเชิงซ้อน |x|>S ใดๆ เราจะได้ |f(x)-L|<ε

[แก้] ตัวอย่าง

[แก้] ฟังก์ชันค่าจริง

$\lim_{x \to 3}x^2=9$	ลิมิตของ x² เมื่อ x เข้าใกล้ 3 คือ 9 ในกรณีนี้ ฟังก์ชันนั้นต่อเนื่อง และค่าของมันมีนิยามที่จุดนั้น ค่าลิมิตจึงเท่ากับการแทนค่าฟังก์ชัน
$\lim_{x \to 0^+}x^x=1$	ลิมิตของ x^x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทางขวาคือ 1
$\lim_{x \to 0}{1 \over x} = \mbox{Undefined}$ $\lim_{x \to 0^+}{1 \over x} = +\infty$	ลิมิตสองด้านของ 1/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 นั้นไม่มีนิยาม ลิมิตของ 1/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทางขวาคือ +∞
$\lim_{x \to 0^+}{\|x\| \over x}=1$ $\lim_{x \to 0^-}{\|x\| \over x}=-1$	ลิมิตด้านเดียวของ \|x\|/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 คือ 1 จากด้านบวกและคือ -1 จากด้านลบ สังเกตว่า \|x\|/x = -1 เมื่อ x เป็นลบ และ \|x\|/x = 1 เมื่อ x เป็นบวก
$\lim_{x \to 0}x \sin {1 \over x} = 0$	ลิมิตของ x sin(1/x) เมื่อ x เข้าใกล้ 0 คือ 0
$\lim_{\|x\| \to \infty}x^{-a} = 0 \mbox{ if } a \in \mathbb{R}; a>0; x \in \mathbb{C}$	ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบใดๆ เข้าใกล้ 0 เมื่อขนาดของ x เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
$\lim_{x \to \infty}{x^a \over b^x} = 0 \mbox{ if } a,b \in \mathbb{R}; b>0$	ฟังก์ชันยกกำลังใดๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังเพิ่มใดๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
$\lim_{x \to \infty}{\log_b x \over x^a} = 0 \mbox{ if } a,b \in \mathbb{R}; a>0; b>0$	ฟังก์ชันลอการิทึมใดๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันยกกำลังที่เป็นบวกใดๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
$\lim_{x \to \infty}{a^x \over x!} = 0 \mbox{ if } a \in \mathbb{R}$	ฟังก์ชันเลขชี้กำลังใดๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันแฟกทอเรียลใดๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด

[แก้] ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง

ถ้า z เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ |z| < 1 แล้วลำดับ z, z², z³, ... ของจำนวนเชิงซ้อนจะลู่เข้าโดยมีลิมิตเป็น 0 โดยเรขาคณิตแล้ว จำนวนเหล่านี้จะ "เวียนเป็นก้นหอย" เข้าสู่จุดกำเนิด ตามเส้นก้นหอยลอการิทึม
ในปริภูมิอิงระยะทาง C[a,b] ของฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ ที่นิยามบนช่วง [a,b] โดยมีระยะทางเพิ่มขึ้นจาก Supremum norm สมาชิกทุกตัวสามารถเขียนในรูปของลิมิตของลำดับของ ฟังก์ชันพหุนาม ได้ นี่คือเนื้อหาของ ทฤษฎีบทสโตน-ไวแยร์สตราสส์ (Stone-Weierstrass theorem)

[แก้] คุณสมบัติ

ประโยค "ลิมิตของฟังก์ชัน f ที่ p คือ L" เหมือนกับประโยค

"สำหรับลำดับลู่เข้า (x_n) ใน M ซึ่งมีลิมิตเท่ากับ pลำดับ (f(x_n)) ลู่เข้าสู่ลิมิต L"

ในกรณีที่ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะได้ว่า ประโยคนั้นเหมือนกับ "ทั้งลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของ f ที่ p คือ L"

ฟังก์ชัน f ต่อเนื่อง ที่ p ก็ต่อเมื่อ เราสามารถหาค่าของลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ p และค่านั้นเท่ากับ f(p) หรืออีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชัน f แปลงลำดับใดๆ ใน M ซึ่งสู่เข้าหา p ไปเป็นลำดับ N ซึ่งลู่เข้าหา f(p)