Претрага

алати

Други језици

Пи

Ознака константе пи

Одмотавање обима точка пречника 1 траје дужином пута пи

Пи или π је математичка константа, данас широко примењивана у математици и физици. Њена приближна вредност је 3,14159^[1] а дефинише се као однос обима и пречника круга или као однос површина круга и квадрата над његовим полупречником^[1]. Пи је такође познато и као Архимедова константа^[2] (не треба га мешати са Архимедовим бројем) или Лудолфов број^[3]. У пракси се бележи малим грчким словом π а у српском језику је правилно писати и пи.

Нумеричка вредност пи заокругљена на 64 децимална места је:

π ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923^[4]

[уреди] Особине

[уреди] Дефиниција

Пи је однос обима и пречника круга

Пи је однос површина круга и квадрата над његовим полупречником

Постоји више еквивалентних дефиниција броја пи:

Однос пречника и обима круга^[5]. Пи је увек исти, без обзира на величину круга.

$\pi = \frac{O}{d}$

Површина круга полупречника 1.
Најмањи позитиван број чији је синус једнак нули.
Двострука вредност најмањег позитивног броја чији је косинус једнак нули^[6]

[уреди] Ирационалност, трансцендентност и последице

Пи је ирационалан број^[7] то јест, не може се представити као однос два цела броја. То значи да се број пи представља бесконачним низом цифара, и то тако да нема периодичности. Ову његову особину је доказао Јохан Хајнрих Ламберт 1761. године^[1] Више од тога, пи је и трансцендентан број, што је доказао Фердинанд фон Линдеман 1882. године^[8]. Ово значи да не постоји полином са рационалним коефицијентима чији би корен био број пи.

Важна последица трансцедентности овог броја је чињеница да га није могуће изразити коришћењем коначног броја целих бројева уз четири основне рачунске операције (сабирање, одузимање, множење и дељење) и кореновања тј. број није конструктибилан. Ово је такође доказ да није могуће извршити квадратуру круга тј. немогуће је лењиром и шестаром конструисати квадрат чија би површина била једнака површини датог круга.^[9] Разлог је тај да су, полазећи од јединичног круга и тачке (1,0) на њему, координате свих тачака које се могу конструисати коришћењем лењира и шестара конструктибилни бројеви.

[уреди] Формуле са пи

[уреди] Геометрија

Пи се појављује у формулама које се тичу геометријских слика и тела које садрже облик круга или елипсе. У њих спадају ваљак, купа и лопта.

Геометријски облик	Формула
Обим круга полупречника r односно пречника d	$O = \pi d = 2 \pi r \,\!$
Површина круга полупречника r	$P = \pi r^2 \,\!$
Површина елипсе са полуосама a и b	$P = \pi a b \,\!$
Запремина лопте полупречника r	$V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!$
Површина лопте полупречника r	$P = 4 \pi r^2 \,\!$
Запремина ваљка висине H и полупречника r	$V = \pi r^2 H \,\!$
Површина ваљка висине H и полупречника r	$P = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) H = 2 \pi r (r + H) \,\!$
Запремина купе висине H и полупречника r	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 H \,\!$
Површина купе висине H и полупречника r	$P = \pi r \sqrt{r^2 + H^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + H^2}) \,\!$

Такође, угао од 180 степени износи π радијана.

[уреди] Анализа

У математичкој анализи се број пи изражава и користи на доста различитих начина. Од облика бесконачних редова и производа до интеграла и специјалних функција.

Франсоа Вијет, 1593:

$\frac2\pi= \frac{\sqrt2}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots$

Лајбницова формула:

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

Овај често навођени бесконачни ред најчешће се пише у горњем облику, док је технички исправан запис:

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left (\frac{1}{2n+1}\right ) = \frac{\pi}{4}$

Валисов производ:

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$

Интеграл вероватноће, познат из калкулуса (види такође и функција грешке и нормална расподела):

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$

Базелски проблем, који је први решио Ојлер (види такође и Риманова зета-функција):

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

и, уопште,

ζ(2 n)

је рационални умножак броја

π 2 n

за свако природно n.

Вредност Гама-функције у тачки 1/2:

$\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}$

Стирлингова апроксимациона формула:

$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

Ојлеров идентитет (којег је Ричард Фејнман назвао „најизванреднијом формулом у математици“):

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$

Особина Ојлерове φ-функције:

$\sum_{k=0}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2$

Површина једне четвртине јединичног круга:

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}$

[уреди] Комплексна анализа

Специјалан случај Ојлерове формуле за $e^{ix}\,$ :

$e^{i\pi}\,\!+1=0$

Основни случај Теореме о остацима:

$\oint\frac{dz}{z}=2\pi i$

[уреди] Верижни разломак

π има пуно представљања у облику верижних разломака, као што је на пример:

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}$

[уреди] Теорија бројева

Неки резултати из теорије бројева:

Вероватноћа да су два случајно изабрана цела броја узајамно проста је 6/π².
Вероватноћа да је случајно изабран цео број бесквадратан је 6/π².
У просеку, број начина да се дати природан број напише као збир два савршена квадрата (редослед сабирака је битан) је π/4.

Овде, „вероватноћа“, „просек“ и „насумичан“ су узети у смислу граничне вредности; тј. посматра се вероватноћа одговарајућег догађаја у скупу бројева ${1,2,... N}$ , а затим узима гранична вредност те вероватноће када $N \rightarrow \infty$ (N је „јако велико“ или „тежи бесконачности“).

[уреди] Динамички системи/Ергодичка теорија

У теорији динамичких система (види такође ергодичка теорија), за скоро свако реално x₀ у интервалу [0,1],

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}\,,$

где су x_i итериране вредности логистичког пресликавања за r = 4.

[уреди] Физика

У физици, појава броја π у формулама је најчешће ствар договора и нормализације. На пример, коришћењем упрошћене Планкове константе $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ може се избећи писање броја π експлицитно у великом броју формула у квантној механици. Заправо, упрошћена варијанта је и базичнија, а присуство фактора 1/2π у формулама које користе h може се сматрати напросто условљеном уобичајеном дефиницијом Планкове константе.

Хајзенбергов принцип неодређености:

$\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$

Ајнштајнова једначина поља опште теорије релативности:

$R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}$

Кулонов закон за електричну силу:

$F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$

Магнетна пермеабилност слободног простора:

$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7}\,\mathrm{H/m}\,$

[уреди] Вероватноћа и статистика

У вероватноћи и статистици постоји пуно расподела, чији аналитички изрази садрже π, укључујући:

Густина расподеле вероватноће за нормалну расподелу са математичким очекивањем μ и стандардном девијацијом σ:

$f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}$

Густина расподеле вероватноће за (стандардну) Кошијеву расподелу:

$f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}$

Треба приметити да се, како је $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$ за сваку функцију густине расподеле вероватноће f(x), помоћу горњих формула може добити још интегралних формула за π.

Занимљива емпиријска апроксимација броја π заснована је на проблему Буфонове игле. Посматрајмо експеримент у којем се игла дужине L баца на раван на којој су означене две паралелне праве на међусобном растојању S (где је S>L). Ако се игла на случајан начин баци велики број (n) пута, од којих се x пута заустави тако да сече једну од правих, онда приближну вредност броја π можемо добити коришћењем формуле

$\pi \approx \frac{2nL}{xS}$

[уреди] Историја

Симбол „π“ за Архимедову константу је први пут увео 1706. године математичар Вилијам Џоунс када је објавио „Нови увод у математику“ (енгл. A New Introduction to Mathematics), мада је исти симбол још раније коришћен да назначи обим круга. Ова ознака постала је стандардна након што ју је усвојио Леонард Ојлер. У оба случаја, π је прво слово речи περιμετρος (периметрос), што значи „мерити около“ на грчком језику.

Ево кратке хронологије броја π:

Време	Особа	Вредност π (светски рекорди су масни)
20. век пне.	Вавилонци	25/8 = 3,125
20. век пне.	Египатски математички папирус (Рајндов папирус)	(16/9)² = 3,160493...
12. век пне.	Кинези	3
средина 6. века пне.	1 Краљеви 7:23	3
434. пне.	Анаксагора је покушао да квадрира круг лењиром и шестаром
3. век пне.	Архимед	223/71 < π < 22/7 (3,140845... < π < 3,142857...)
20. пне.	Витрувије	25/8 = 3,125
130.	Чанг Хонг	√10 = 3,162277...
150.	Птоломеј	377/120 = 3,141666...
250.	Ванг Фау	142/45 = 3,155555...
263.	Лиу Хуи	3,14159
480.	Зу Чонгжи	3,1415926 < π < 3,1415927
499.	Арјабхата	62832/20000 = 3,1416
598.	Брамагупта	√10 = 3,162277...
800.	Мухамед Ал Хорезми	3,1416
12. век	Баскара	3,14156
1220.	Фибоначи	3,141818
1400.	Мадава	3,14159265359
Сви подаци од 1424. су дати у бројевима тачних децималних места (дм).
1424.	Џамшид Масуд Ал Каши	16 дм
1573.	Валентус Ото	6 дм
1593.	Франсоа Вијет	9 дм
1593.	Адријен ван Ромен	15 дм
1596.	Лудолф ван Цојлен	20 дм
1615.	Лудолф ван Цојлен	32 дм
1621.	Вилеброрд Снел (Снелије), Лудолфов ученик	35 дм
1665.	Исак Њутн	16 дм
1699.	Абрахам Шарп	71 дм
1700.	Секи Кова	10 дм
1706.	Џон Мејчин	100 дм
1706.	Вилијам Џоунс увео грчко слово 'π'
1730.	Камата	25 дм
1719.	Де Лањи израчунао 127 децималних места, али нису сва била тачна	112 дм
1723.	Такебе	41 дм
1734.	Леонард Ојлер усвојио грчко слово 'π' и обезбедио његову популарност
1739.	Мацунага	50 дм
1761.	Јохан Хајнрих Ламберт доказао да је π ирационалан број
1775.	Ојлер указао на могућност да би π могао бити трансцендентан
1789.	Јуриј Вега израчунао 140 децималних места, али нису сва била тачна	137 дм
1794.	Адријан-Мари Лежандр показао да је и π² (па самим тим и π) ирационалан, и спомиње могућност да је π могуће трансецедентан.
1841.	Радерфорд израчунао 208 децималних места, али нису сва била тачна	152 дм
1844.	Захарија Дазе и Штрасницки	200 дм
1847.	Томас Клаузен	248 дм
1853.	Леман	261 дм
1853.	Радерфорд	440 дм
1853.	Вилијам Шенкс	527 дм
1855.	Рихтер	500 дм
1874.	Вилијам Шенкс је посветио 15 година израчунавању 707 децималних места, али нису сва била тачна (грешку је открио Д. Ф. Фергусон 1946. године)	527 дм
1882.	Линдеман доказао да је π трансцедентан (Линдеман-Вајерштрасова теорема, коју неки зову и „најлепшом теоремом целе математике“)
1946.	Д. Ф. Фергусон користећи стони калкулатор	620 дм
1947.		710 дм
1947.		808 дм
Сви рекорди од 1949. надаље израчунати су помоћу електронских рачунара.
1949.	Џ. В. Вренч, јр. и Л. Р. Смит били су први који су користили електронски рачунар (Енијак) да израчунају π	2.037 дм
1953.	Малер показао да pi; није Лиувилов број
1955.	Џ. В. Вренч, јр. и Л. Р. Смит	3.089 дм
1961.		100.000 дм
1966.		250.000 дм
1967.		500.000 дм
1974.		1.000.000 дм
1992.		2.180.000.000 дм
1995.	Јасумаса Канада	> 6.000.000.000 дм
1997.	Канада и Такахаши	> 51.500.000.000 дм
1999.	Канада и Такахаши	> 206.000.000.000 дм
2002.	Канада и тим	> 1.240.000.000.000 дм
2003.	Канада и тим	> 1.241.100.000.000 дм
Април 2004.	Канада и тим	1.3511 билион цифара укупно

[уреди] Нумеричке апроксимације броја π

Због трансцедентне природе броја π, не постоје прикладни затворени изрази за π. Стога, нумеричка израчунавања морају користити приближне вредности (апроксимације) броја. За пуно потреба, 3,14 или 22/7 је довољно близу, иако инжењери често користе 3,1416 или 3,14159 (5, односно 6 значајних цифара) ради веће прецизности. Апроксимације 22/7 и 355/113, са 3 и 7 значајних цифара, се добијају из једноставног развоја π у верижни разломак.

Поред тога, следећа нумеричка формула даје апроксимацију π са 9 исправних цифара:

$(63/25)((17+15\sqrt 5)/(7+15\sqrt5))$

Египатски писар по имену Ахмес је извор најстаријег познатог текста који даје приближну вредност броја π. Рајндов папирус датира из египатског другог средњег периода—мада Ахмес тврди да је преписивао папирус из Средњег краљевства—и описује вредност тако да је добијени резултат заправо 256 подељено са 81, тј. 3,160.

Кинески математичар Лиу Хуи је израчунао π до 3,141014 (тачно до 3 децимална места) 263. године и предложио да је 3,14 добра апроксимација.

Индијски математичар и астроном Арјабхата дао је прецизну апроксимацију за π. Он је написао: „Додај четири на сто, помножи са осам, а онда додај шездесет и две хиљаде. Резултат је приближно једнак обиму круга пречника двадесет хиљада. Овим правилом дат је однос између обима и пречника.“ Другим речима, (4+100)×8 + 62.000 је обим круга пречника 20.000. Ово даје вредност π = 62.832/20.000 = 3,1416, тачну када се заокругли на 4 децимална места.

Кинески математичар и астроном Зу Чонгжи је израчунао π до 3,1415926–3,1415927, и дао две апроксимације: 355/113 и 22/7 (у 5. веку).

Ирански математичар и астроном Гијат ад-дин Џамшид Кашани (1350–1439) је израчунао π до 9 цифара у бројном систему са основом 60, што је еквивалентно са 16 децималних места као:

2 π = 6,2831853071795865, тј. π = 3,141592653589793116

Немачки математичар Лудолф ван Цојлен (око 1600) је израчунао првих 35 децимала. Био је тако поносан на своје достигнуће да их је дао урезати у свој надгробни споменик.

Словеначки математичар Јуриј Вега је 1789. израчунао првих 140 децимала, од којих је првих 137 било тачно и држао је светски рекорд 52 године—све до 1841—када је Вилијам Радерфорд израчунао 208 децималних места, од којих су прва 152 била тачна. Вега је побољшао формулу Џона Мејчина из 1706; његов метод се спомиње и данас.

Ниједна од горе датих формула не може да послужи као ефикасни начин налажења приближних вредности броја π. За брза израчунавања, могу се користити формуле попут Мејчинове:

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

заједно са Тејлоровим развојем функције $arctan x$ . Ова формула се најлакше проверава коришћењем поларних координата комплексних бројева, кренувши од:

$(5+i)^4\cdot(-239+i)=-114244-114244i.$

Формуле ове врсте су познате као формуле сличне Мејчиновој.

Екстремно дугачки децимални развоји броја π се по правилу рачунају Гаус-Лежандровим алгоритмом и Борвајновим алгоритмом; Саламен-Брентов алгоритам који потиче из 1976. године је такође коришћен у прошлости.

Првих милион цифара бројева π и 1/π су доступни на Пројекту Гутенберг (види спољне везе доле). Тренутни рекорд (децембар 2002) има 1.241.100.000.000 цифара, које су израчунате у септембру исте године на 64-чворном Хитачи суперрачунару са једним терабајтом радне меморије, који врши 2 билиона операција у секунди, скоро дупло више од рачунара коришћеног за претходни рекорд (206 милијарди цифара). Коришћене су следеће формуле сличне Мејчиновој:

$\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}$ –К. Такано (1982).

$\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}$ –Ф. Ц. В. Штермер (1896).

Ове приближне вредности имају толико пуно цифара да више немају никаквог практичног значаја, изузев за тестирање нових суперрачунара и (очигледно) за установљавање нових рекорда у израчунавању броја π.

1996. године Дејвид Х. Бејли је, заједно са Питером Борвајном и Сајмоном Плуфеом, открио нову формулу за π у облику збира бесконачног реда:

$\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)$

Ова формула омогућава да се лако израчуна k-та бинарна или хексадецимална цифра броја π без потребе за рачунањем претходних k − 1 цифара. Бејлијева веб-страна садржи извођење ове формуле, као и њену имплементацију у разним програмским језицима. Пројекат „ПиХекс“ је израчунао билијардити бит броја π (који је, узгред, 0)^[10].

Остале формуле које су до сада коришћене за израчунавање приближних вредности π укључују:

$\frac{\pi}{2}= \sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}= 1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{5}\left(1+\frac{3}{7}\left(1+\frac{4}{9}(1+...)\right)\right)\right)$ (Њутн)

$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$ (Рамануџан)

$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}$ (Давид Чудновски и Григориј Чудновски)

${\pi} = 20 \arctan\frac{1}{7} + 8 \arctan\frac{3}{79}$ (Ојлер)

На рачунарима са оперативним системом Мајкрософт виндоуз, програм ПиФаст може се користити за брзо израчунавање великог броја цифара. Највећи број цифара броја π израчунат на кућном рачунару је 25.000.000.000, за које је ПиФаст-у требало 17 дана.

[уреди] Отворена питања

Отворено питање о овом броју које највише притиска јесте да ли је π нормалан број — да ли се ма који блок цифара јавља у његовом децималном развоју управо онолико често колико би се статистички могло очекивати ако би се цифре производиле потпуно „насумично“. Ово мора да буде тачно у било којој основи, а не само у декадном систему (основи 10). Тренутно знање у овом смеру је веома оскудно; на пример, не зна се чак ни које се од цифара (0-9) појављују бесконачно често у децималном развоју овог броја.

Бејли и Крендал су показали 2000. године да постојање горепоменуте формуле Бејли-Борвајн-Плуфе и сличних формула повлачи да се тврђење о нормалности броја π и разних других константи у основи 2 може свести на извесну разумну претпоставку у Теорији хаоса. За појединости, погледати горенаведени Бејлијев сајт.

Такође није познато да ли су π и e алгебарски независни, тј. да ли постоји нетривијална полиномска релација између ова два броја са рационалним коефицијентима.

Џон Харисон (1693-1776) је створио музички систем изведен из π. Овај Луси тјунинг систем, (због јединствених математичких особина броја π) може да ослика све музичке интервале, хармоније и хармонике. Ово сугерише да би се коришћењем π могао добити прецизнији модел за анализу како музичких, тако и других хармоника у вибрирајућим системима.

[уреди] Природа броја π

У хиперболичкој геометрији, збир углова троугла може да буде мањи или већи од π радијана, а однос обима круга и његовог пречника може се такође разликовати од π. Ово не мења његову дефиницију, али утиче на многе формуле где се π појављује. Па тако, посебно, облик универзума не утиче на π; π није физичка него математичка константа, дефинисана независно од ма каквих физичких мерења. Разлог зашто се π појављује тако често у физици је једноставно зато што је подесан у многим физичким моделима. Посматрајмо, као пример, Кулонов закон:

$F = \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_0} \frac{\left|q_1 q_2\right|}{r^2}$ .

Овде, $4 \pi r^2\,$ је напросто површина лопте полупречника r. У овој форми, ово је погодан начин описивања инверзне квадратне везе између силе и растојања r од тачкастог извора. Наравно, било би могуће да се овај закон опише на друге, али мање згодне или, ређе, згодније начине. Ако користимо Планково наелектрисање, Кулонов се закон може описати као $F = \frac{q_1 q_2}{r^2}$ чиме се уклања потреба за π.

[уреди] Спомињања у фикцији

Контакт — научно-фантастично дело Карла Сагана, а касније филмска адаптација Џоди Фостер. Саган разматра могућност потписа, који су у децимални развој броја π уградили ствараоци универзума.
π (филм) — о вези између бројева и природе: откривање такве везе а да нисте нумеролог.
Time's Eye („око времена“) — научна фантастика Артура Ч. Кларка и Стивена Бакстера. У свету који су престројиле ванземаљске силе, примећује се сферична направа чији је однос обима и пречника по свим равнима — тачан цео број 3.

[уреди] π култура

Постоји цело поље шаљивог, али и озбиљног изучавања које укључује коришћење мнемоника за лакше памћење цифара π и зове се пифилологија. Погледајте Пи мнемонике за примере на енглеском језику.

14. март (3/14 према стандарду који важи у САД) је „Дан броја пи“ (енгл. Pi Day) којег просавља велики број љубитеља овог броја. 22. јула, прославља се Дан апроксимације броја пи (22/7 је популарна апроксимација).

Штавише, многи људи говоре и о „пи сатима“ (3:14:15 је мало мање од једног пи сата; 3:08:30 би било најближе броју π сата после поднева или поноћи у целим секундама).

Још један пример математичке игре је следећа апроксимација π: Узмите број 1234, замените места првим двема и последњим двама цифрама, тако да број постаје 2143. Поделите тај број са „два–два“ (22, па је 2143/22 = 97,40909...). Извадите 2×2-ти корен (четврти корен) овог броја. Коначан резултат је изузетно близу π: 3,14159265.

[уреди] Види још

[уреди] Референце

^ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Ask Dr. Math: FAQ – о пи
^ Архимедова константа пи
^ Лудолф ван Цојлен
^ Пи до 1.000.000 децимала на piday.org
^ About Pi. Ask Dr. Math FAQ.
^ Rudin, Walter [1953] (1976). Principles of mathematical analysis, 3e, McGraw-Hill, 183. ISBN 0-07-054235-X.
^ Једноставан доказ да је пи ирационално
^ Трансцендентност броја пи
^ Квадратура круга
^

навигација

техничке