Lineárny priestor

Lineárny priestor alebo vektorový priestor je abstraktný pojem, ktorý má mnohé použitia v matematike. Je predmetom skúmania algebraickej disciplíny lineárna algebra.

"Vektory" nemusia byť vektormi tak, ako ich chápeme v geometrii, môže to byť ľubovboľný matematický objekt spĺňajúci nasledujúce axiómy vektorového priestoru; napríklad polynómy stupňa ≤n s reálnymi koeficientami z vektorového priestoru.

Obsah

[upraviť] Definícia

Nech F je pole. Nech V je množina, na ktorej je daná binárna operácia "+", a nech je každému $c \in F$ , $\alpha \in V$ priradený prvok $c.a \in V$ , pričom:

(V, + )

je komutatívna grupa

pre ľubovoľné $α$ , $β$ $\in$ a c,d $\in$ F platí:

c .(α + β) = c .α + c .β

(distribučný zákon)

(c + d).α = c .α + d .β

(c . d).α = c (d .α)

(asociativita)

1.α = α

potom $V$ je vektorový priestor nad poľom $F$ .

[upraviť] Príklady

[upraviť] Lineárne Priestory vo Fyzike

[upraviť] Bra-Ket Formalizmus

Vektory $\mid\alpha_i\rangle$ tvoria lineárny priestor (alebo vektorový priestor), ak ich ľubovoľná lineárna kombinácia

$\sum_i\lambda_i\mid\alpha_i\rangle$

patrí taktiež do tohoto priestoru.

Pri aplikáciách v kvantovej mechanike môžu byť koeficienty $λ i$ komplexné čísla. Priestoru ket-vektorov je antilineárne priradený duálny priestor bra-vektorov:

$\sum_i\lambda_i\mid\alpha_i\rangle \rightarrow \sum_i\langle\alpha_i\mid\lambda_i^*$ ,

kde hviezdička $*$ označuje komplexné združenie. V konkrétnom prípade vlnovej mechaniky sú ket-vektory $\mid\alpha_i\rangle$ vlnové funkcie $φ i$ a bra-vektory $\langle\alpha_i\mid$ sú komplexne združené vlnové funkcie $\psi_i^*$ . Skalárny súčin

$\langle\alpha^'\mid\alpha\rangle$

je definovaný pre ľubovoľnú dvojicu ket-vektor $\mid\alpha\rangle$ a bra-vektor $\langle\alpha^'\mid$ . Skalárny súčin je komplexné číslo a má tú vlastnosť, že

$\langle\alpha\mid\alpha^'\rangle=\langle\alpha^'\mid\alpha\rangle^*$ .

Dôsledkom toho je, že $\langle\alpha\mid\alpha\rangle$ je reálne číslo. Taktiež požadujeme, aby bolo kladné:

$\langle\alpha\mid\alpha\rangle > 0$ .

Za týmto požiadavkom sa skrýva predstava, že $\langle\alpha\mid\alpha\rangle$ zodpovedá druhej mocnine dĺžky vektoru $\mid\alpha\rangle$ . V konkrétnom vyjadrení vlnovej mechaniky zodpovedá skalárny súčin integrálu

$\int \psi^{'*}\psi,dx$ , ktorý má zjavne vlastnosť $\langle\alpha\mid\alpha^'\rangle=\langle\alpha^'\mid\alpha\rangle^*$ , rovnako ako

$\int \psi^{*}\psi,dx$ má vlastnosť $\langle\alpha\mid\alpha\rangle > 0$ , pretože $\psi^*\psi=\mid\psi\mid^2$ je kladné.

Vzťah medzi ket-vektormi a fyzikálnymi stavmi zodpovedá tzv. paprskovej reprezentácii. To znamená, že $\mid\alpha\rangle$ a $\lambda\mid\alpha\rangle$ vyjadrujú rovnaký fyzikálny stav pre ľubovoľné nenulové komplexné číslo $λ$ .