Wet van Snellius

De Wet van Snellius (of brekingswet), genoemd naar de Nederlandse wis- en sterrenkundige Willebrord Snel van Royen, is een natuurwet uit de optica die aangeeft hoe lichtstralen gebroken worden op de overgang van het ene medium naar het andere bijvoorbeeld lucht en glas of andere stoffen met verschillende dichtheid. De wet van Snelllius geeft daarmee een definitie voor de brekingsindex n. Deze wet is een gevolg van het principe van Fermat, die stelt dat het licht de snelste weg tussen twee punten kiest. Het scheidingsoppervlak tussen twee media waarvan de brekingsindex verschillend is, noemt men een diopter.

De wet van Snellius
De wet van Snellius
Hoewel het potlood recht is, lijkt het alsof die in het contactvlak water-lucht gebogen is
Hoewel het potlood recht is, lijkt het alsof die in het contactvlak water-lucht gebogen is

Een lichtstraal valt vanuit een medium met optische dichtheid n1 onder een hoek θ1 met de normaal op het scheidingsvlak in. De lichtstraal breekt in het andere medium met optische dichtheid n2. Voor de uittreehoek θ2 geldt:

n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\!

De lichtweg is omkeerbaar. De grootst mogelijke hoek θ is 90 graden in het medium met de laagste dichtheid. De bijbehorende andere hoek θ in het dichtere medium heet de grenshoek. Voor hoeken groter dan de grenshoek treedt volledige terugkaatsing aan het grensvlak op, omdat de lichtstraal het dichtere medium niet in kan.

In Franse teksten heet de Wet van Snellius de wet van Descartes, die het principe ook in de zeventiende eeuw vermeldde.

Inhoud

[bewerk] Afleidingen

[bewerk] Minimumprincipe

De snelheid in het glas en de lucht is niet gelijk. Het principe van Fermat stelt dat het licht de snelste route neemt. Dit is wiskundig op te lossen door de vergelijking van de reistijd op te schrijven en met de afgeleide het minimum te vinden. De wet van Snellius volgt.

[bewerk] Zwemmers op het strand

De strategie van de twee zwemmers.
De strategie van de twee zwemmers.

De natuurkundige Richard Feynman kwam met de volgende vergelijking. Twee zwemmers moeten zo snel mogelijk een boei in zee bereiken. Iemand die snel op het strand is, maar in het water trager dan zijn concurrent, zal zoveel mogelijk de afstand op het strand afleggen (strategie 2). De zwemmer die het snelst zwemt, maar trager is op het strand, legt zo weinig mogelijk afstand op het strand af (strategie 1).

De voor iedere loper snelste baan (afhankelijk van de snelheid op het strand en in de zee) voldoet aan de wet van Snellius.

[bewerk] Golffronten

Golffronten uit een puntbron breken in het dichtere medium volgens de golftheorie van Huygens.
Golffronten uit een puntbron breken in het dichtere medium volgens de golftheorie van Huygens.

Christiaan Huygens kon de wet afleiden met zijn golftheorie.

[bewerk] Toepassing

[bewerk] Zonshoogte

Een toepassing van de Wet van Snellius is het feit dat men de zon altijd in een hogere stand ziet dan zijn werkelijke positie. Op die manier kan men bij zonsondergang de zon langer zien. Dit is te verklaren als volgt. De atmosfeer is in feite geen homogeen medium: de soortelijke massa daalt als de hoogte toeneemt. Men kan aantonen dat de brekingsindex een stijgende functie is van de soortelijke massa, dus op grotere hoogte heeft men een kleinere brekingsindex. Het gevolg daarvan is dat de zonnestralen gekromde stralen zijn die gekromd zijn naar de laag met de hoogste waarde van n toe. Men kan de kromming van de zonnestralen ook terugvinden door de atmosfeer in te delen in opeenvolgende homogene luchtlagen en de Wet van Snellius toe te passen op ieder diopter tussen twee opeenvolgende lagen.

[bewerk] Geluid onder water

Een andere toepassing van de wet is bij akoestische metingen onder water (zie hydrografie). Licht of elektromagnetische golven dringen maar zeer slecht door in het water, vandaar de keuze voor geluid. Een gemiddelde geluidssnelheid van ongeveer 1500 m/s varieert met +/- 6% als gevolg van variaties van temperatuur en zoutgehalte. Als er veel regen valt, dan stroomt er veel zoet water in zee, en zal de geluidssnelheid aan het zeeoppervlak lager zijn dan bij droog weer. Daarna treedt al gauw weer menging op. Er treedt een zekere horizontale gelaagdheid op van lagen met min of meer gelijke geluidssnelheid. Als een geluidsignaal schuin door deze lagen loopt, treedt er breking op volgens de wet van Snellius. Om afstanden en hoeken juist te schatten, dienen de metingen hiervoor gecorrigeerd te worden.

[bewerk] Weerkaatsing van radiogolven in de atmosfeer

[bewerk] Nieuwe materialen

Er zijn nieuwe optische materialen ontwikkeld met een negatieve brekingsindex.

[bewerk] Berekening straalbuiging geluid onder water

Aan de grenslaag tussen twee waterlagen met verschillende dichtheden, dus verschillende geluidssnelheden, zal volgens de wet van Snellius breking optreden. De weg van het signaal is daardoor niet recht maar gebogen.

[bewerk] Voorbeeld

Stel de waterdiepte is 1000 m en denk deze diepte opgebouwd uit 1000 lagen van elk 1 m dik. De snelheid in de onderste laag is 1550 m/s en neemt per laag af met 0,1 m/s. De snelheid in de bovenste laag is dan 1450 m/s. Op de bodem bevindt zich een geluidsbron die onder een hoek van 45 graden een geluidspuls uitzendt. Deze puls bereikt het wateroppervlak in het punt O.

(hier komt afbeelding)

In deze figuur geldt v1 = 1550 m/s, v2= 1549,9 m/s, enzovoort tot v1000= 1450 m/s

Met θ1 = 45 graden volgt θ2 uit:

\frac{\sin(\theta_1)}{v_1}=\frac{\sin(\theta_2)}{v_2}=…..= constant = a of i2 = 44,9963 graden

Op deze manier vind je i1000 = 41,4134 graden.

Je berekent de weg die de geluidspuls in de diverse lagen aflegt als volgt.

L_n=\frac{1}{\cos(\theta_i)} met n = 1 t/m 1000, en krijg je voor de totale lengte L = 1371,721 m

De horizontale projectie x van de afgelegde weg per laag volgt uit

xn = tanθn

voor de totale horizontale afstand tussen Z en O krijg je X = 939,223 m

vervolgens moet je de totale looptijd van de geluidspuls berekenen door

t_n = \frac{L_n}{v_n},

zodat de totale looptijd Ztot = 0,9148275 seconde is en met wat algebra kom je dan voor de volgende formules voor de looptijd T:

T = \frac{1}{g} \ln(0,5 \frac{\theta_1}{0,5 \theta_{1000}})

Voor de kromtestraal van het traject geldt:

R = \frac{1}{a g}

met

g = de geluidsnelheidsgradiënt (veranderingen met de diepte per seconde) a = de straalbuigingsconstante

voor de horizontale afstand

X = R(cosθ1000 − cosθ1), a volgt uit de brekingswet van Snellius en bedraagt in het voorbeeld:

a = 0,00045620 s/m

T = 0,9148180 s

R = 21920 m

X = 939,3 m

De werkelijk gemeten looptijd van de puls is 0,9148275 s. vermenigvuldigd met de gemiddelde snelheid 1500 m/s levert dit de afstand 1372,27 m. de afstand via een rechte lijn tussen Z en O is 1371,91m.

Met deze afstand werken de akoestische plaatsbepalingsystemen.

Fouten ten gevolge van straalbuiging zijn vaak te verwaarlozen, zoals in dit voorbeeld, maar er zijn wel degelijke omstandigheden, waar je met dit probleem rekening moet houden. Denk hierbij vooral aan de toepassing van padloders (multibeam echo sounders) in water van enige diepte met een grote snelheidsgradiënt.

Ook landmeters kennen dit probleem. De precieze grootte van de zgn. refractie is moeilijk te bepalen. De precieze grootte van de fout stijgt kwadratisch, net als de fout door de aardkromming.

[bewerk] Externe links

 

Nieruchomości wakacje Pozycjonowanie Kraków Golf 3 koszulki nocne Strony internetowe mocne linki Pożyczki Tekstunie faktoring Bieszczady Darmowe mp3 Serwis Komputerowy Pozycjonowanie wladyslawowo kick koparki Bułgaria wczasy Karaoke tani kredyt hipoteczny COOLsurf