Massa (fisica)

A differenza di spazio e tempo, per cui si possono dare definizioni operative in termini "intuitivi" di regoli e orologi, per definire il concetto di massa occorre fare esplicito riferimento alla teoria fisica che ne descrive significato e proprietà. I concetti intuitivi pre-fisici di quantità di materia (da non confondere con quantità di sostanza, misurata in moli) sono troppo vaghi per una definizione operativa, e fanno riferimento a proprietà comuni — l'inerzia e il peso — che vengono considerati ben distinti dalla prima teoria che introduce la massa in termini quantitativi, la dinamica newtoniana.

Il riscontro a livello di teorie fondamentali del fenomeno della massa della fisica macroscopica è correntemente in via di studio. Alcune teorie che cercano di dare una spiegazione della massa sono il meccanismo di Higgs, la teoria delle stringhe e la gravità quantistica a loop, ma nessuna teoria ha avuto, al momento, concrete conferme sperimentali. I più promettenti esperimenti di verifica di queste teorie sono quelli legati al collider LHC, la cui entrata in servizio è prevista per il 2008.^[2]

[modifica] Unità di misura

Si usa dire comunemente che l'elettrone ha una massa di 511 keV^[3], soprattutto nell'ambito della fisica nucleare e delle particelle, nel quale non vengono impiegate unità di misura SI ma altre, dette unità naturali, nelle quali la velocità della luce è una costante adimensionale che vale 1.^[4]

Per un fisico, il chilogrammo è l'unità di massa, ma nell'uso comune "chilogrammo" è un'abbreviazione per "il peso di un corpo avente la massa di un chilogrammo, a livello del mare sulla terra"; tuttora si usa in molte situazioni quotidiane il chilogrammo forza come unità di misura della forza, ma quest'uso non è conforme al Sistema Internazionale e deve essere evitato nei contesti scientifici. Questi termini possono facilmente confondere ed è quindi importante rimarcare la seguente distinzione: massa e forza sono due grandezze concettualmente distinte, con unità di misura diverse, rispettivamente il chilogrammo per la massa e il Newton per la forza; ed è bene sottolineare il fatto che il peso di un oggetto è una forza, non una proprietà fisica intrinseca dell'oggetto (quale invece è la massa).

[modifica] Meccanica newtoniana

In meccanica classica termine massa si può riferire a tre diverse grandezze fisiche scalari, distinte tra loro:

La massa inerziale e quelle gravitazionali sono state sperimentalmente provate come equivalenti, anche se concettualmente sono distinte. I primi esperimenti mirati a stabilire questa equivalenza sono stati quelli di Galileo Galilei.

[modifica] Massa inerziale

La massa inerziale m_i di un corpo è definita dalla seconda legge di Newton come costante di proporzionalità tra la forza applicata $\vec F$ e l'accelerazione subita $\vec a$ . La relazione vettoriale é:

nella quale compaiono le norme dei vettori. Questa è una definizione operativa: la massa inerziale si misura misurando l'accelerazione del corpo sottoposto ad una forza nota. La massa inerziale è quindi indice della tendenza di un corpo ad accelerare quando è sottoposto ad una forza, cioè dell' inerzia del corpo.

Il problema di questa definizione è che implica di aver già definito la forza precedentemente; spesso la forza viene definita in base all'allungamento di una molla che segua la legge di Hooke, definizione chiaramente insoddisfacente. Una definizione che prescinde dalla definizione di forza è dovuta a Ernst Mach e si basa sul terzo principio della dinamica.

Una descrizione dettagliata della dinamica di un corpo esteso, cioè di come il corpo accelera quando è sottoposto a forze esterne, richiede lo studio del suo tensore d'inerzia, che tiene conto delle caratteristiche geometriche del corpo.

[modifica] Definizione di Mach

Consideriamo un sistema isolato formato da due corpi (puntiformi) interagenti tra loro. Qualunque sia la forza che agisce fra i due corpi, si osserva sperimentalmente che le accelerazioni subite dai due corpi sono sempre proporzionali^[5] e in rapporto costante fra loro:

Ciò che è particolarmente rilevante è che il rapporto

μ 12

fra le due accelerazioni istantanee non solo è costante nel tempo, ma non dipende dallo stato iniziale del sistema: è quindi associato a una proprietà fisica intrinseca dei due corpi in esame. Cambiando uno dei due corpi, varia anche la costante di proporzionalità. Supponiamo quindi di utilizzare tre corpi, ed effettuare separatamente tre esperimenti con le tre possibili coppie (assumiamo sempre l'assenza di forze esterne). In questo modo potremo misurare le costanti

μ 12,μ 23,μ 31 .

Si noti che per definizione

Confrontando i valori delle costanti osservate, si troverà invariabilmente che questi soddisfano la relazione $\mu_{12}\cdot\mu_{23}\cdot\mu_{31}=1.$ Quindi il prodotto $\mu_{12}\cdot\mu_{31}$ , essendo uguale a $\!\mu_{23}$ , non dipende dalla natura del corpo (1). Da questo si ricava che ogni coefficiente

μ i j

deve poter essere espresso come prodotto di due costanti, ognuna dipendente solo da uno dei due corpi. Chiamiamo $\mu_{ab}=\nu_b \cdot m_a$ ; ma deve valere identicamente

in ogni istante, per qualunque coppia di corpi. La quantità m che risulta così definita (a meno di un fattore costante, che corrisponde alla scelta dell'unità di misura) è chiamata massa inerziale del corpo: è quindi possibile misurare la massa di un corpo misurando le accelerazioni dovute alle interazioni tra questo e un altro corpo di massa nota, senza bisogno di conoscere quali siano le forze agenti fra i due punti (purché il sistema formato dai due corpi si possa considerare isolato, ossia non soggetto a forze esterne). Il legame tra le masse è dato da:

[modifica] Massa gravitazionale

Consideriamo un corpo, ad esempio una palla da tennis. Notiamo che se la palla è lasciata libera in aria, essa è attratta verso il basso da una forza, in prima approssimazione costante, chiamata forza peso. Tramite una bilancia a piatti si può notare che corpi diversi, in generale, sono attratte diversamente dalla forza peso, cioè pesano diversamente. La bilancia a piatti si può usare per dare una definizione operativa della massa gravitazionale: si assegna massa unitaria ad un oggetto campione e gli altri oggetti hanno una massa pari al numero di campioni necessari a bilanciare i piatti.

La massa gravitazionale passiva è una grandezza fisica proporzionale all'interazione di ciascun corpo con il campo gravitazionale. All'interno dello stesso campo gravitazionale, un corpo con massa gravitazionale piccola sperimenta una forza minore di quella di un corpo con massa gravitazionale grande: la massa gravitazionale è proporzionale al peso, ma mentre quest'ultimo varia a seconda del campo gravitazionale, la massa resta costante. Per definizione, possiamo esprimere la forza peso P come il prodotto della massa gravitazionale m_g per un vettore g, chiamato accelerazione di gravità, dipendente dal luogo nel quale si effettua la misurazione e le cui unità di misura dipendono da quella della massa gravitazionale.^[6] La direzione del vettore g è chiamata verticale.

Come detto precedentemente, la massa gravitazionale attiva di un corpo è proporzionale all'intensità del campo gravitazionale da esso generata. Maggiore è la massa gravitazionale attiva di un corpo, più intenso è il campo gravitazionale da lui generato, e quindi la forza esercitata dal campo su un'altro corpo; per fare un esempio, il campo gravitazionale generato dalla Luna è minore (a parità di distanza dal centro dei due corpi celesti) di quello generato dalla Terra perché la sua massa è minore. Misure di masse gravitazionali attive si possono eseguire, ad esempio, con bilance di torsione come quella usata da Henry Cavendish nella determinazione della costante di gravitazione universale.

[modifica] Equivalenza tra massa gravitazionale attiva e passiva

L'equivalenza tra la massa gravitazionale attiva e quella passiva è una diretta conseguenza del terzo principio della dinamica di Newton: chiamiamo F₁₂ il modulo della la forza che il corpo 1 esercita sul corpo 2, F₂₁ il modulo della forza che il corpo 2 esercita sul corpo 1 e m_1A, m_2A, m_1P e m_2P le masse gravitazionali, attive e passive, dei due corpi. Abbiamo:

Data l'arbitrarietà dei corpi, le leggi della meccanica classica stabiliscono la sostanziale equivalenza tra le masse gravitazionali attive e passive; molte verifiche sperimentali si sono aggiunte nel tempo, come ad esempio quella di D. F. Bartlett e D. Van Buren del 1986 compiuta sfruttando la diversa composizione della crosta e del mantello lunari, con una precisione sull'ugualianza del rapporto massa gravitazionale attiva/massa gravitazionale passiva pari a 4×10^-12.^[7]

(d'ora in poi le masse gravitazionali attiva e passiva saranno identificate dall'unico termine massa gravitazionale)

La massa gravitazionale è a tutti gli effetti la carica del campo gravitazionale, esattamente nello stesso senso in cui la carica elettrica è la carica del campo elettrico: essa contemporaneamente genera e subisce gli effetti del campo gravitazionale. Notiamo che eventuali oggetti con massa gravitazionale nulla (es. fotoni) non subirebbero gli effetti del campo: in realtà un risultato della relatività generale è che qualunque corpo segue una traiettoria dovuta al campo gravitazionale. Per ulteriori informazioni, vedi il paragrafo riguardante la massa nella relatività generale.

[modifica] Equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale

Gli esperimenti hanno dimostrato che la massa inerziale e gravitazionale sono uguali, entro la precisione delle misure effettuate sinora.^[8] I primi esperimenti furono condotti da Galileo; si dice comunemente che Galileo ottenne i suoi risultati lasciando cadere oggetti dalla torre di Pisa, ma ciò è probabilmente apocrifo: più verosimilmente studiò il moto di biglie tramite l'uso di piani inclinati. La biografia scritta da Vincenzo Viviani asserisce che Galileo abbia lasciato cadere sfere dello stesso materiale ma di diversa massa dalla torre di Pisa,^[9] ma fu probabilmente un esperimento mentale che non fu mai eseguito realmente; Galileo usò invece piani inclinati per rallentare la caduta dei corpi.^[10]^[11]

Supponiamo di avere un oggetto di massa inerziale e gravitazionale rispettivamente m_i ed m_g. Se la forza peso è la sola forza agente sugli oggetti la seconda legge di Newton ci fornisce:

Un esperimento di verifica dell'equivalenza tra le due definizioni di massa, una volta fissato il luogo (altrimenti potrebbe variare g) potrebbe consistere, per esempio, nel misurare a per diversi corpi cercando eventuali variazioni; in parole povere, verificare se due corpi qualsiasi, cadendo, accelerano nello stesso modo (universalità della caduta libera, oppure UFF dall'inglese universality of free fall). Come detto sopra, sperimentalmente non si riscontrano violazioni dell'equivalenza, quindi scegliendo la stessa unità di misura per le due masse il rapporto vale esattamente 1: per ogni corpo non solo massa gravitazionale e massa inerziale hanno le stesse unità di misura, ma sono anche espresse dallo stesso numero. Di conseguenza g è un'accelerazione, e viene chiamata infatti accelerazione di gravità.

Le verifiche sperimentali dell'equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale e dell'UFF sono state effettuate mediante l'uso di piani inclinati (Galileo), pendoli (Newton), fino ad arrivare alle bilance di torsione (Loránd Eötvös).

[modifica] Pendolo

Un pendolo è formato da un lungo filo leggero (di massa trascurabile), vincolato al soffitto, alla cui estremità inferiore sia agganciata un corpo, ad esempio una sfera metallica. Una misura del periodo del pendolo fornisce una misura del rapporto tra la massa gravitazionale e la massa inerziale del corpo: ripetendo la misura con corpi di vari materiali, densità e dimensioni è possibile verificare se questo rapporto rimanga costante o no. La misura è tanto più accurata quanto è piccolo l'angolo di oscillazione massimo θ_max.^[12]

Sperimentalmente, T è costante per ogni massa usata, perciò per ogni corpo il rapporto m_i / m_g deve essere costante.

[modifica] Bilancia di torsione

Un esperimento decisamente più accurato fu compiuto da Loránd Eötvös a partire dal 1895 ^[13] ^[14] sfruttando la bilancia di torsione inventata da Henry Cavendish per misurare la costante di gravitazione universale. Una bilancia di torsione è formata da un braccio con due masse uguali alle estremità, vincolato al soffitto tramite un filo di un materiale opportuno (es. quarzo). Applicando una forza alle masse si applica un momento torcente al manubrio: grazie al fatto che la forza peso agente sulle masse ha anche una componente dovuta alla forza centrifuga causata dalla rotazione della terra sul suo asse, è possibile correlare massa inerziale e gravitazionale, che risultano sperimentalmente essere di diretta proporzionalità.

Sia il manubrio inizialmente diretto verso la direzione est-ovest. Definiamo un sistema di riferimento con l'asse x da sud a nord, l'asse y da ovest a est e l'asse z dal basso verso l'alto; α è la latitudine alla quale si svolge l'esperimento. Proiettando le forze gravitazionale e centrifuga sull'asse z abbiamo all'equilibrio:

Se il rapporto tra le masse gravitazionali e le masse inerziali fossero diversi, ciò implicherebbe la diversità delle masse inerziali dei due corpi: ma ciò causerebbe una rotazione sul piano xy, dovuta alla componente orizzontale della forza centrifuga. I momenti delle forze, proiettati sull'asse orizzontale danno:

Se questa relazione non fosse verificata si avrebbe un momento torcente agente sulla bilancia e di conseguenza una rotazione dell'apparato sperimentale; invertendo le masse si otterrebbe ovviamente una rotazione nel senso opposto. Eötvös non notò nessuna torsione del filo entro gli errori sperimentali, e quindi stabilì l'equivalenza delle masse gravitazionali e inerziali a meno di un fattore nell'ordine di 10^-9 (una parte su un miliardo)^[15]

[modifica] Legge della conservazione della massa

Nella meccanica classica vige la fondamentale legge della conservazione della massa, in varie formulazioni. In generale, dato un volume di controllo V, fissato, la variazione della massa contenuta in esso è pari al flusso uscente della massa attraverso la frontiera $\partial V$ , cioè attraverso la superficie chiusa che delimita il volume V, cambiato di segno: in parole povere, la variazione di massa di un sistema è uguale alla massa entrante meno la massa uscente; ciò implica, ad esempio, che la massa non può venire né creata né distrutta, ma solo spostata da un luogo ad un altro. In chimica, Antoine Lavoisier stabilì nel XVIII secolo che in una reazione chimica la massa dei reagenti è uguale alla massa dei prodotti.

Il principio di conservazione della massa vale con ottima approssimazione nell'esperienza quotidiana, ma cessa di valere nelle reazioni nucleari e, in generale, nei fenomeni che coinvolgono energie relativistiche: in questo caso esso viene incorporato nel principio di conservazione dell'energia (vedi oltre).

[modifica] Massa elettromagnetica

Oggetti carichi possiedono una inerzia maggiore rispetto agli stessi corpi scarichi. Ciò si spiega con una interazione delle cariche elettriche in moto con il campo da esse stesse generato, detta reazione di campo; l'effetto è interpretabile come un aumento della massa inerziale del corpo ed è ricavabile dalle equazioni di Maxwell. L'interazione delle cariche elettriche con il campo dipende dalla geometria del sistema: l'inerzia di un corpo carico assume un carattere tensoriale, in contraddizione con la meccanica classica, e bisogna perciò distinguere tra una componente parallela al moto e due componenti trasversali. Si dimostra che si può dividere la massa inerziale di un corpo carico in due componenti, la massa elettromagnetica e la massa non-elettromagnetica. Mentre la massa elettromagnetica dipende dalla geometria del sistema, la massa non-elettromagnetica ha le stesse caratteristiche "standard" di invarianza della massa inerziale, e ad essa si riconduce la massa inerziale se il corpo è scarico.

Il concetto di massa elettromagnetica esiste anche nella teoria della relatività ristretta e nella teoria quantistica dei campi.^[16] La massa elettromagnetica ebbe una grande importanza nella storia della fisica a cavallo tra i secoli XIX e XX a causa del tentativo, portato avanti principalmente da Max Abraham e Wilhelm Wien, inizialmente supportato dai lavori sperimentali di Walter Kaufmann, di ricavare la massa inerziale unicamente dall'inerzia elettromagnetica; questa interpretazione dell'inerzia fu però in seguito abbandonata con l'accettazione della teoria della relatività; esperimenti più precisi, eseguiti per la prima volta da A.H. Bucherer nel 1908, mostrarono che le relazioni corrette per la massa longitudinale e la massa trasversa non erano quelle fornite da Abraham, ma quelle di Hendrik Antoon Lorentz (vedi il paragrafo successivo).

[modifica] Relatività ristretta

Nella relatività speciale, il termine "massa" (o massa propria, o massa a riposo) si riferisce solitamente alla massa inerziale di un corpo così come viene misurata nel sistema di riferimento nel quale è in quiete. Anche in questo caso la massa è una proprietà intrinseca di un corpo e l'unità di misura è la stessa, il kilogrammo. Si può ancora determinare la massa di un oggetto come rapporto tra forza e accelerazione, a patto che si faccia in modo che la velocità del corpo sia molto più piccola di quella della luce. Infatti, ad alte velocità, il rapporto tra la forza impressa F e l'accelerazione a del corpo dipende in maniera sostanziale dalla sua velocità nel sistema di riferimento scelto, o meglio dal fattore di Lorentz relativo alla velocità alla quale si trova il corpo: in particolare se facciamo tendere la velocità all'infinito, il rapporto diverge. Il legame tra forza F e accelerazione A per un corpo con massa a riposo non nulla $m\ne 0$ , con velocità v lungo l'asse x in un sistema di riferimento inerziale (del laboratorio), si ricava esprimendo le componenti spaziali della quadriaccelerazione e della quadriforza nel sistema di riferimento del laboratorio:

Sostituendo $\vec v=(v,0,0)$ , con semplici passaggi si ottengono le seguenti relazioni, dovute a Lorentz:

Se la velocità del corpo è molto minore della velocità della luce c, i fattori di Lorentz γ tendono a 1, perciò la massa a riposo del corpo è proprio equivalente alla massa inerziale.

Storicamente, nell'ambito della relatività ristretta si hanno altre definizioni di massa oltre a quella di "massa a riposo". Definendo massa il rapporto tra quantità di moto e la velocità otteniamo quella che viene indicata con massa relativistica

M = γ m

. Se invece cerchiamo di identificare la massa come rapporto tra forza e accelerazione dobbiamo distinguere tra massa longitudinale

M L = γ 3 m

e massa trasversa

M T = γ m

, introdotte dal fisico tedesco Max Abraham;^[17] notiamo che questa distinzione tra le componenti della massa è analoga al caso della massa elettromagnetica. Sia la massa relativistica che le masse longitudinale/trasversa non sono considerate buone definizioni di massa in quanto dipendono dal sistema di riferimento nel quale la massa è misurata, e sono oggi in disuso. Utilizzando questi concetti, il sistema di equazioni precedente diventa:

[modifica] Corrispondenza massa - energia

dove γ è il fattore di Lorentz relativo alla velocità del corpo. Se misuriamo l'energia di un corpo fermo, chiamata energia a riposo E₀, otteniamo:

Questa equazione stabilisce una corrispondenza tra massa a riposo di un corpo ed energia: in altri termini, ogni corpo con massa a riposo diversa da zero possiede una energia a risposo E₀ dovuta unicamente al fatto di avere massa.

L'equazione implica di fatto che la massa inerziale totale di un sistema isolato, in generale, non si conserva. ^[18] La conservazione della massa in meccanica classica può essere interpretata come parte della conservazione dell'energia quando non si verificano reazioni nucleari o subnucleari, che implicano variazioni significative della somma delle masse a riposo del sistema; al contrario, data la piccolezza del difetto di massa nei legami chimici, la massa è praticamente conservata nelle reazioni chimiche.

[modifica] L'equazione Energia-quantità di moto

Nella meccanica relativistica abbiamo una relazione notevole che lega massa a riposo di un corpo, la sua energia e la sua quantità di moto. Dalla definizione di energia abbiamo:

D'altra parte il vettore è uno scalare m per una quadrivelocità: la norma quadra di un tale quadrivettore vale sempre m²c², perciò, chiamando p la norma euclidea del vettore tridimensionale quantità di moto (cioè l'intensità dell'usuale quantità di moto):

Sostituendo nell'ultima equazione quelle precedenti otteniamo l'equazione cercata:

Da questa equazione si nota come anche particelle con massa nulla possano avere energia/quantità di moto diverse da zero. Nella meccanica classica invece una forza piccola a piacere produrrebbe un'accelerazione infinita su una ipotetica particella di massa nulla ma la sua energia cinetica e quantità di moto resterebbero pari a zero. Invece all'interno della relatività ristretta quando m = 0, la relazione si semplifica in:

Per esempio, per un fotone si ha

E = h ν

, dove ν è la frequenza del fotone: la quantità di moto del fotone è quindi pari a:

[modifica] Relatività generale

La meccanica classica si limita a prendere atto della proporzionalità tra massa inerziale e massa gravitazionale come fenomeno empirico ma tenendo queste due grandezze ben distinte e separate. Solo con la teoria della relatività generale si ha una unificazione dei due concetti, risultato che, secondo Albert Einstein, dà "alla teoria generale della relatività una tale superiorità rispetto alla meccanica classica che tutte le difficoltà che si incontrano nel suo sviluppo vanno considerate ben poca cosa"^[19].

Uno dei principi sui quali si basa la relatività generale è il principio di equivalenza. Nella sua versione forte, esso afferma che in un campo gravitazionale è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento che sia localmente inerziale, cioè che in un intorno sufficientemente piccolo del punto le leggi del moto assumono la stessa forma che avrebbero in assenza di gravità. È facile verificare che questo principio implica il principio di equivalenza debole, che sancisce proprio l'equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale: infatti supponiamo di avere due corpi sottoposti unicamente alla forza di gravità (supponiamo che siano abbastanza vicini da poter trascurare eventuali variazioni del campo gravitazionale).

Se il rapporto tra le masse inerziali e gravitazionali dei due corpi sono diversi subiranno accelerazioni diverse, ma allora è impossibile trovare un sistema di riferimento nel quale viaggino entrambe di moto rettilineo uniforme, cioè in condizione di assenza di forze.

Un celebre esperimento mentale che si basa sull'equivalenza tra la massa inerziale e quella gravitazionale è quello dell'ascensore di Einstein. In una delle versioni di questo esperimento, una persona si trova all'interno di una cabina chiusa, senza la possibilità di osservare l'esterno; lasciando cadere una palla, osserva che cade con una accelerazione g = 9.81 m/s

2

. Schematizzando, ciò può essere dovuto a due motivi:

Einstein diede molta importanza al fatto che l'osservatore non possa decidere, dal suo punto di vista, quale delle due situazioni si verifichi realmente: ciò determina una sostanziale equivalenza tra i sistemi di riferimento accelerati e quelli sottoposti alla forza di gravità. Questo esperimento mentale è una delle linee-guida che hanno portato Albert Einstein alla formulazione della teoria della relatività generale, tramite una rivisitazione del principio d'inerzia: infatti i corpi liberi percorrono sempre delle rette, ma delle geodetiche nello spazio-tempo, curvato dalla presenza di masse. Si noti che in uno spazio-tempo piatto, cioè nel quale vige la metrica di Minkowski, in assenza di forze gravitazionali, le geodetiche sono proprio rette e ci si riconduce quindi al principio d'inerzia newtoniano.

[modifica] Note

^ Il legame fra massa ed energia stabilito dalla relatività ristretta fa sorgere l'interrogativo se la massa e l'energia si debba considerare due forme di una stessa grandezza fisica. Su questo sono stati avanzati diversi punti di vista, cfr. Max Jammer. Concept of Mass in Contemporary Physics and Philosophy. ISBN 069101017X, Princeton University Press, 1999. Pagina 88. Si deve però notare che il rapporto fra massa ed "energia a riposo" nella formula E = mc² non è adimensionale (anche se in alcuni contesti si usano unità di misura naturali, in cui c = 1); pertanto E ed m si devono considerare grandezze fisiche concettualmente distinte. L'"energia a riposo" di un corpo materiale, inoltre, non è fisicamente osservabile, se non attraverso la misura della massa: può essere osservata direttamente solo la parte di energia a riposo che, in un processo subnucleare in cui la massa totale non sia conservata, si trasforma in altre forme di energia.
^ (EN) LHC Milestones, cronologia della costruzione dell'LHC.
^ Più correttamente si dovrebbe dire che l'energia corrispondente alla massa dell'elettrone è 511 keV.
^ Carlo Dionisi ed Egidio Longo, Dispense di fisica nucleare e subnucleare, capitolo 1, pag 5.
^ Due vettori sono proporzionali se hanno la stessa direzione, cioè sono collineari: nel caso in esame, le due accelerazioni sono sempre dirette lungo la retta passante per i due corpi puntiformi.
^ Nota bene: non abbiamo ancora dimostrato effettivamente che ha le dimensioni di un'accelerazione: è impossibile farlo senza dimostrare l'equivalenza delle masse inerziale e gravitazionale.
^ (EN) D. F. Bartlett, Dave Van Buren, Equivalence of active and passive gravitational mass using the moon, Phys. Rev. Lett. 57, 21 - 24 (1986).
^ C. Mencuccini e V. Silvestrini. III.6, in Fisica I (Meccanica e Termodinamica). 3^a ed. ISBN 88-207-1493-0, Liguori Editore, 1996. Pagine 72-74.
^ Drake, Stillman (1978). Galileo At Work. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-16226-5
^ (EN) Rick Groleau. Galileo's Battle for the Heavens. Luglio 2002
^ (EN) Phil Ball. Science history: setting the record straight.. 30 giugno 2005
^ Se l'ampiezza dell'oscillazione $θ max$ non è piccola, è possibile considerare delle correzioni nella formula del periodo dipendenti da θ_max. La formula esatta del periodo, valida per qualunque angolo, è:

$T=4\sqrt{\frac{m_i}{m_g}} \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}K\left(\sin \frac{\theta_\mathrm{max}}{2}\right)$

dove $K$ è l'integrale ellittico completo di prima specie.
^ (DE) R. v. Eötvös, Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn, 8, 65, 1890.
^ (DE) R. v. Eötvös, in Verhandlungen der 16 Allgemeinen Konferenz der Internationalen Erdmessung, G. Reiner, Berlino, 319, 1910.
^ (EN) Geodetic applications of torsion balance mesurements in Hungary, PDF.
^ (EN) V.A. Kuligin, G.A. Kuligina, M.V. Korneva (Gennaio 1996). The Electromagnetic Mass of a Charged Particle Apeiron 3 (1).
^ (EN) Lorentz, H.A. (1899), "Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems", Proc. Roy. Soc. Amst.: 427-442
^ Si conserva, invece, la massa relativistica. Se E è una costante, allora lo è anche m_rel = E / c². Questo è uno dei motivi per cui alcuni scienziati preferiscono usare il concetto di massa relativistica. Si veda per esempio questo articolo in inglese di Q. ter Spill.
^ Albert Einstein. Il significato della Relatività. 3^a ed. ISBN 88-8183-585-1, Newton & Compton Editori, 2005. Pagina 63.

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