Arithmétique

L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la « science des nombres ». Son étymologie provient du mot grec « αριθμός » qui signifie « nombre ».

Autrefois, l'arithmétique se limitait à l'étude des propriétés des entiers naturels, des entiers relatifs, et des nombres rationnels (sous forme de fractions), et aux propriétés des opérations sur ces nombres.

Les opérations arithmétiques traditionnelles sont l'addition, la division, la multiplication, et la soustraction.

Cette discipline fut ensuite élargie par l'inclusion de l'étude d'autres nombres comme les réels (sous forme de développement décimal illimité), ou même de concepts plus avancés, comme l'exponentiation ou la racine carrée.

Sommaire

[modifier] Histoire

Les premières traces d'opérations arithmétiques sont retrouvées en Afrique, en 18 000 av. J.-C. sur l'Os d'Ishango. Cet os aurait été entaillé afin d'effectuer des additions et des soustractions.

Dans l'école pythagoricienne (Pythagore de Samos), à la deuxième moitié du VI^e siècle avant J.-C., l'arithmétique était, avec la géométrie, l'astronomie et la musique, une des quatre sciences quantitatives ou mathématiques (Mathemata). Celles-ci furent regroupées au sein des sept arts libéraux par Martianus Capella (V^e siècle), et plus précisément désignées sous le nom de quadrivium par Boèce. Les trois autres disciplines étaient littéraires (grammaire, rhétorique, dialectique) et firent l'objet des travaux de Cassiodore et, plus tard, Alcuin qui leur donna le nom de trivium.

[modifier] Arithmétique élémentaire

L’arithmétique élémentaire est la forme la plus basique des mathématiques, apprise à l’école élémentaire.

Il s’agit essentiellement de l’étude des nombres, et des opérations élémentaires (soustraction, addition, division, multiplication).

[modifier] Ensembles utilisés en arithmétique

La totalité des nombres ont été regroupés dans des ensembles. Les plus connus sont :

$\mathbb{N}$ : l'ensemble des entiers naturels ( $0;\,1;\, 2;\, 3;\, 4;\mbox{ etc.}$ )
$\mathbb{Z}$ : l'ensemble des entiers relatifs ( $-12;\, -2;\, 0 ;\, 5;\, 6;\mbox{ etc.}$ )
$\mathbb{D}$ : l'ensemble des nombres décimaux, c'est-à-dire qui s'écrivent sous la forme $\frac {x}{10^n}$ où x est un entier $\left ( -\frac{1}{2};\, 6,36;\, 0;\, 25;\mbox{ etc.}\right)$ .
$\mathbb{Q}$ : l'ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire des nombres pouvant s'écrire comme la fraction de deux décimaux; le nombre de décimales peut être infini mais doit être périodique. $\left({1\over3};\, -{5\over13};{22\over7}\mbox{ etc.}\right)$ .
$\mathbb{R}$ : l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire ceux dont la partie imaginaire est nulle ( $π$ , le nombre d'or, $\sqrt 2$ )
$\mathbb{C}$ : nombres complexes qui regroupent tous les nombres, qu’ils soient réels, imaginaires, ou une combinaision des deux.

Certains de ces ensembles sont des sous-ensembles des autres ; Tous les éléments de $\mathbb{N}$ appartiennent aussi à $\mathbb{Q}$ , par exemple. Mais à l'inverse, un élément de $\mathbb{Q}$ n'est pas forcément élément de $\mathbb{N}$ . On peut représenter ces ensembles par des cercles concentriques: le plus petit est $\mathbb{N}$ , puis viennent $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{D}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ .

Il est possible de ne considérer qu'une partie d'un ensemble. Ainsi, on notera $\mathbb{R^+}$ l'ensemble des nombres positifs de $\mathbb{R}$ . De même on notera $\mathbb{R^*}$ l'ensemble $\mathbb{R}$ privé de 0. On remarque entre autre que $\mathbb{Z^+}\,=\,\mathbb{N}$ et que $\mathbb{Z} \backslash \mathbb{N}\,=\,\mathbb{Z^{-*}}$ (il s'agit de $\mathbb{Z}$ « privé de » $\mathbb{N}$ .)

[modifier] Propriétés

De nombreux nombres entiers ont des propriétés particulières. Ces propriétés font l'objet d'une théorie appelée Théorie des nombres. Parmi ces nombres particuliers les nombres premiers sont sans doute les plus importants.

[modifier] Nombres premiers

C'est le cas des nombres dits premiers. Ce sont des éléments de $\mathbb{N}$ possédant uniquement deux diviseurs positifs distincts, à savoir 1 et eux-même. Les premiers nombres premiers sont 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29 etc. 1 n'est pas premier car il n'a pas 2 diviseurs distincts, mais un seul. Il existe une infinité de nombres premiers. En complétant une grille de taille 10 $\times$ 10 avec les 100 premiers entiers non nuls, et en rayant ceux qui ne sont pas premiers, on obtient les nombres premiers appartenant à $\{ 1,\ldots 100 \}$ par un procédé appelé un crible d'Eratosthène, du nom du savant grec qui l'inventa.

[modifier] Nombres pairs et impairs

Les entiers naturels sont divisés en deux catégories bien connues des joueurs de roulette: les pairs et les impairs.

Un entier $n$ pair est un multiple de 2 et peut être noté $n = 2\,k$ , avec $k\in\mathbb{N}$ Un nombre $n$ impair n'est pas multiple de 2 et se note $n = 2\,k + 1$ , avec $k\in\mathbb{N}$ .

On montre que tout entier est soit pair soit impair, et au moins l'un des deux, et ce pour un unique $k$ : on note $\forall n\in\mathbb{N},\, \exists ! k\in\mathbb{N},\,\left(n=2\,k\lor n=2\,k+1\right)$
Les premiers entiers pairs sont 0, 2, 4, 6, 8, 10 ... Les premiers entiers impairs sont 1, 3, 5, 7, 9, 11 ...

[modifier] Voir aussi

Notion de nombre
Ensembles usuels		Extensions
ℕ ensemble des entiers naturels ℤ groupe des entiers relatifs D ensemble des décimaux ℚ corps des rationnels ℝ corps des réels ℂ corps des complexes		ℍ algèbre des quaternions O algèbre des octonions S algèbre des sédénions autres hypercomplexes ℚ_p corps des p-adiques hyperréels et superréels ordinaux et cardinaux surréels et pseudoréels
$\scriptstyle\mathbb{N}\ \sub\ \mathbb{Z}\ \sub\ \mathbb{D}\ \sub\ \mathbb{Q}\ \sub\ \mathbb{R}\ \sub\ \mathbb{C}$
Propriétés particulières
pair ou impair • premier ou composé • carré • parfait positif ou négatif • dyadique • irrationnel algébrique ou transcendant • imaginaire pur nombre de Liouville • normal • univers constructible • calculable • transfini • infiniment petit
Exemples d'importance historique
π : $\sqrt 2$ : φ : 0 : $i$ : e : ℵ₀ :	constante d'Archimède racine carrée de deux nombre d'or zéro unité imaginaire constante de Neper aleph-zéro	(≈ 3,141592654…) (≈ 1,414213562…) (≈ 1,618033989…) de carré valant −1 (≈ 2,718281828…) premier cardinal infini
autres constantes mathématiques
Notions connexes
chiffre • numération • fraction • opération • calcul • algèbre arithmétique • suite d'entiers • ∞ infini • chiffre significatif