Recta de Simson

Teorema:

Sea ABC un triángulo, y M un punto de su circunferencia circunscrita. Sean M₁, M₂ y M₃ las proyecciones ortogonales de M sobre los costados [AB], [AC] y [BC] respectivamente.

Entonces los tres puntos M₁, M₂ y M₃ están alineados. La recta que los contiene se llama recta de Simson.

Prueba:

Notaremos <ABC> el ángulo entre los vectores BA y BC, en este orden.

La prueba utiliza cuatro veces propiedades de los puntos cocíclicos. En efecto, (B, M, M₁, M₃) son cocíclicos, como lo son (C, M₂, M, M₃), (A, B, C, M) y (A, M₁, M, M₂).

Para mostrar que M₁, M₂ y M₃ son alineados, basta establecer que : <M₃M₂C> = <M₁M₂A>.

Los ángulos rectos en M₁ y M₂ implican que estos puntos están sobre el círculo de diámetro [AM]. Por lo tanto A, M₁, M₂ y M son cocíclicos; luego:

<M₁M₂A> = <M₁MA> (1)

Exactamente de la misma manera, Los ángulos rectos en M₂ y M₃ implican que estos puntos están sobre el círculo de diámetro [CM]. Por lo tanto C, M₃, M, M₂ son cocíclicos; luego:

<M₃M₂C> = <M₃MC> (2)

El cuadrilátero BCMA está inscrito en la circunferencia circunscrita, por lo tanto sus ángulos opuestos son suplementarios:

<CMA> = π - <ABC>.(3)

Del mismo modo, B, M₃, M y M₁ son cocíclicos gracias a los ángulos rectos en M₁ y M₃ (el diámetro es [BM]), por lo tanto :

<M₃MM₁> = π - <ABC> (4)

Igualando (3) y (4) : <M₃MM₁> = <CMA>

Sustrayendo <CMM₁> : <M₃MC> = <M₁MA>

Es decir, por (1) y (2) : <M₃M₂C> = <M₁M₂A>.

es: Recta de Simson