Vektorový prostor

Vektorový prostor (též lineární prostor) je základním objektem studia lineární algebry. Prvky vektorového prostoru se nazývají vektory.

Při zavádění vektorů lze uvažovat některé operace (sčítání vektorů, násobení skalárem) společně s některými omezeními (asociativita atd.) Tím dospějeme k matematické struktuře zvané vektorový prostor.

Obsah

[editovat] Formální definice

Vektorový prostor nad tělesem F (např. tělesem reálných čísel nebo komplexních čísel) je množina V společně se dvěma operacemi:

sčítání vektorů: V × V → V značeno v + w, kde v, w ∈ V
násobení skalárem: F × V → V značeno a v, kde a ∈ F a v ∈ V.

splňující následující axiomy (pro každé a, b ∈ F a u, v, w ∈ V):

V společně se sčítáním vektorů tvoří komutativní grupu
1. Existuje neutrální prvek 0 ∈ V tak, že pro všechna v ∈ V, v + 0 = v. Prvek 0 se nazývá nulový vektor.
2. Pro všechna v ∈ V existuje inverzní prvek w ∈ V tak, že v + w = 0. Vektor w bývá také označován jako opačný vektor k vektoru v a značen w= -v.
3. Sčítání vektorů je asociativní: u + (v + w) = (u + v) + w.
4. Sčítání vektorů je komutativní: v + w = w + v.
Násobení skalárem je asociativní: a(b v) = (ab)v.
1 v = v, kde 1 je jednotkový prvek tělesa.
Distributivita:
1. a(v + w) = a v + a w.
2. (a + b)v = a v + b v.

[editovat] Základní vlastnosti

Z definice vektorového prostoru lze dokázat například tyto vlastnosti:

Nulový vektor 0 ∈ V je právě jeden.
a 0 = 0 pro všechna a ∈ F.
0 v = 0 pro všechna v ∈ V kde 0 je neutrální prvek pro sčítání v F.
a v = 0 právě tehdy, když a = 0 nebo v = 0.
Inverse vektoru v pro sčítání vektorů je unikátní. Většinou se značí −v.
(−1)v = −v pro všechna v ∈ V.
(−a)v = a(−v) = −(av) pro všechna a ∈ F a v ∈ V.

[editovat] Příklady

Vektorový prostor obsahující pouze nulový vektor se označuje jako nulový (nebo triviální) vektorový prostor. Triviální prostor je nejjednodušším příkladem vektorového prostoru.
Každé těleso spolu s operací sčítání a násobení prvkem tělesa je vektorovým prostorem samo nad sebou.
Množina R^m×n všech reálých matic typu m×n s operací sčítání matic a násobení skalárem je vektorový prostor.
Obecně množina všech matic typu m×n nad tělesem T je vektorovým prostorem.
Vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R obvykle nazýváme reálným vektorovým prostorem. Obdobně lze nad tělesem komplexních čísel C vytvořit komplexní vektorový prostor.
Množina všech polynomů s koeficienty v T tvoří spolu s obvyklými operacemi sčítání polynomů a násobení prvkem z T vektorový prostor nad T.
Množina všech spojitých reálných funkcí definovaných na uzavřeném intervalu $\langle a,b \rangle$ , jestliže pro funkce f, g z této množiny jsou definovány operace (f+g)(x)=f(x)+g(x) a (r f)(x)=r f(x) pro x ∈ R a r ∈ R. Množina těchto funkcí tvoří reálný vektorový prostor.
Definujme pro přirozené číslo n na množině Tⁿ všech uspořádaných n-tic prvků z množiny T binární operaci sčítání předpisem

(a 1, a 2,..., a n) + (b 1, b 2,..., b n) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n)

a operaci násobení prvků z Tⁿ prvkem z tělesa T jako

r (a 1, a 2,..., a n) = (r a 1, r a 2,..., r a n)

Takovou množinu Tⁿ nazýváme aritmetickým vektorovým prostorem dimenze n nad tělesem T (nebo n-rozměrným aritmetickým vektorovým prostorem nad tělesem T).

[editovat] Generátory vektorového prostoru

Podmnožina M vektorového prostoru V nad tělesem T se nazývá množina generátorů prostoru V, jestliže je lineární obal této množiny roven celému prostoru V, tzn. $\langle \mathbf{M} \rangle = V$ . Říká se také, že M generuje V.

Podmnožina M prostoru V generuje prostor V právě tehdy, když každý vektor z V je lineární kombinací vektorů z množiny M.

Platí, že pokud je $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n\}$ množina generátorů prostoru V a každý z vektorů v₁,v₂,…,v_n je lineární kombinací vektorů u₁,u₂,…,u_n, pak také $\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,...,\mathbf{u}_n\}$ je množinou generátorů prostoru V.

Tzv. Steinitzova věta říká, že pokud máme ve vektorovém prostoru V lineárně nezávislé vektory v₁, v₂, …, v_m a další vektory u₁, u₂, …, u_n takové, že každý vektor v_i lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u₁, u₂, …, u_n, pak $m \leq n$ .